Окольцованное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.

Определение[править | править вики-текст]

Окольцованное пространство (X,\mathcal O_X) — это топологическое пространство X вместе с пучком коммутативных колец \mathcal O_X на нём. Этот пучок называется структурным пучком пространства X.

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство, такое что слой пучка \mathcal O_X в любой точке — локальное кольцо.

Примеры[править | править вики-текст]

Любое топологическое пространство можно наделить структурой локально окольцованного пространства, если рассмотреть пучок непрерывных действительнозначных функций на нём. Слой этого пучка в точке x — кольцо ростков непрерывных действительнозначных функций в x — является локальным кольцом, единственный максимальный идеал которого — ростки функций, равных нулю в x. Аналогичным образом, гладкое многообразие с пучком гладких функций является локально окольцованным пространством.

Если X — алгебраическое многообразие с топологией Зарисского (например, спектр некоторого кольца), структуру локально окольцованного пространства на нём вводят следующим образом: \mathcal O_X(U) — множество рациональных функций, определённых на всём U. Такое окольцованное пространство называют аффинной схемой, общие схемы определяют как результат «склейки» нескольких аффинных схем.

Морфизмы окольцованных пространств[править | править вики-текст]

Для того, чтобы задать морфизм из (X,\mathcal O_X) в (Y,\mathcal O_Y), нужно зафиксировать следующую информацию:

Гомоморфизмы колец должны быть согласованы со структурой пучка, то есть коммутировать с отображениями ограничения. А именно, если V_1\subset V_2 — открытые подмножества Y, следующая диаграмма должна быть коммутативной:

LocallyRingedSpace-01.png

Морфизмы локально окольцованных пространств должны удовлетворять ещё одному требованию. Гомоморфизмы \varphi для каждой точки x\in X индуцируют гомоморфизм из слоя \mathcal O_Y в точке f(x) в слой \mathcal O_X в точке x. Требуется, чтобы все эти гомоморфизмы были локальными, то есть переводили максимальный идеал прообраза в подмножество максимального идеала образа.

Касательное пространство[править | править вики-текст]

Структура локально окольцованного пространств позволяет ввести осмысленное определение касательного пространства в его точке. Рассмотрим точку x\in X окольцованного пространства (X,\mathcal O_X). Рассмотрим локальное кольцо R_x (слой пучка в точке x) с максимальным идеалом \mathfrak m_x. Тогда R_x/\mathfrak m_x — поле, math>\mathfrak m_x/\mathfrak m_x²</math> — векторное пространство над этим полем. Касательное пространство в точке x определяется как двойственное к этому пространству.

Идея состоит в следующем: касательное пространство состоит из векторов, вдоль которых можно «дифференцировать» «функции» в данной точке, то есть элементы кольца R_x. Достаточно найти способ дифференцирования функций, значение которых в данной точке равно нулю, так как остальные отличаются от них на константу, то есть достаточно описать производные функций из \mathfrak m_x. При этом дифференциал произведения двух функций из \mathfrak m_x равен нулю (мы хотим, чтобы формула производной произведения осталась верной). Следовательно, вектор должен присваивать число каждому элементу \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2, и это то, что делают элементы двойственного пространства.

Легко проверить, что в случае гладких многообразий с пучком гладких функций это определение совпадает с обычным. С другой стороны, в случае топологического пространства с пучком непрерывных (вещественнозначных) функций \mathfrak m_x = \mathfrak m_x^2, так как для непрерывной функции f(x) функция \sqrt{|f(x)|} также непрерывна. Следовательно, в этом случае касательное пространство в любой точке имеет размерность 0.

Литература[править | править вики-текст]