Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Пусть $\varepsilon>0$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки $x_0$ на числовой прямой (иногда говорят $\varepsilon$-окрестностью) называется множество точек, удаленных от $x_0$ не более чем на $\varepsilon$, то есть $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый $\varepsilon$-шар с центром в точке $x_0$.

В банаховом пространстве $(B,\|\cdot\|)$ окрестностью с центром в точке $x_0$ называют множество $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\epsilon\}$.

В метрическом пространстве $(M,\rho)$ окрестностью с центром в точке $y$ называют множество $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\epsilon\}$.

Общая топология

• Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$.

• Аналогично окрестностью множества $M \subset X$ называется такое множество $V \subset X$, что существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$, для которого выполнено $M \subset U \subset V$.

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что $V$ является окрестностью множества $M$ тогда и только тогда, когда $V$ есть окрестность любой точки $x\in M$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $(-1,2)$ является открытой окрестностью, а $[-1,2]$ — замкнутой окрестностью точки $0$.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество $\dot{V}$ называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки $x\in X$, если

$\dot{V} = V \setminus \{x\},$

где $V$ — окрестность $x$.

См. также

• Словарь терминов общей топологии