Окрестность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения[править | править вики-текст]

Математический анализ[править | править вики-текст]

Пусть \varepsilon>0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x_0 на числовой прямой (иногда говорят \varepsilon-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x_0 менее чем на \varepsilon, то есть O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый \varepsilon-шар с центром в точке x_0.

В банаховом пространстве (B,\|\cdot\|) окрестностью с центром в точке x_0 называют множество A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}.

В метрическом пространстве (M,\rho) окрестностью с центром в точке y называют множество A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}.

Общая топология[править | править вики-текст]

  • Аналогично окрестностью множества M \subset X называется такое множество V \subset X, что существует открытое множество U\in \mathcal{T}, для которого выполнено M \subset U \subset V.

Замечания[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «окрестность»
  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Oкрестностью множества точек M называется такое множество V, что V есть окрестность любой точки x\in M.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда (-1,2) является открытой окрестностью, а [-1,2] — замкнутой окрестностью точки 0.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Проколотая окрестность[править | править вики-текст]

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество \dot{V} называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки x\in X, если

\dot{V} = V \setminus \{x\},

где V — окрестность x.

См. также[править | править вики-текст]


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Рудин, 1975

Литература[править | править вики-текст]