Окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
Окружность и её центр

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Содержание

[править] Связанные определения

  • Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
  • Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
  • Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности
  • Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
  • Длина единичной полуокружности обозначается через π.
  • Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
  • Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  • Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.
  • Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
  • Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

[править] Свойства

  • Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  • Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
  • Длина дуги окружности радиуса R, образованной центральным углом \varphi, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле L= \varphi R.
    • Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле \ C= 2\pi R.
  • Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
    • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
    • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
  • Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
  • Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.
  • Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.
  • Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  • При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
  • Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
    • Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
  • Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
  • Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

[править] Уравнения

[править] Декартовы координаты

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, -0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

x^2+y^2+Ax+By+C=0,\,

или

\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2,

где

2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt{A^2+B^2-4C}.

Точка \left(x_0, y_0\right) — центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

x^2 + y^2 = R^2.\,

Уравнение окружности, проходящей через три точки \left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2\right) и \left(x_3, y_3\right):

\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

\begin{cases} x = x_0 + R \cos \varphi \\ y = y_0 + R \sin \varphi \end{cases},\;\;\;0 \le \varphi < 2 \pi.

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x - x_0 )^2}.

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

y = \pm \sqrt{R^2 - x^2 }.

[править] Полярные координаты

Окружность радиуса R с центром в точке \left(\rho_0,\phi_0\right):

\rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2.

Если полярные координаты центра окружности \rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha, то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

\rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leq \varphi \leq \alpha+\frac\pi 2.

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

\rho=R.\,

[править] Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

\left|z - z_0\right| = R\,

или в параметрическом виде

z_0 + Re^{it},\,t\in\R.\,

[править] Касательные и нормали

Уравнение касательной к окружности в точке \left(x_1,y_1\right) определяется уравнением

\left(\frac{A}{2}+x_1\right)x + \left(\frac{B}{2}+y_1\right)y + \left(\frac{A+B}{2}+C\right) = 0.

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

\frac{x-x_1}{2x_1+A} = \frac{y-y_1}{2y_1+B}.\,

[править] Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда A1 = A2 и B1 = B2. Эти же две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

A_1A_2 + B_1B_2 = 2\left(C_1+C_2\right).

[править] См. также

Логотип «Викисловаря»
В Викисловаре есть статья «окружность»

[править] Литература

  • Математическая энциклопедия в пяти томах. — М: Советская энциклопедия, 1983.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
  • Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 70.

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C»