Октаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Октаэдр
Octahedron
Тип Правильный многогранник
Грань треугольник
Граней 8\,\!
Рёбер 12\,\!
Вершин 6\,\!
Граней при вершине 4\,\!
Длина ребра a\,\!
Площадь поверхности 2a^2\sqrt3\,\!
Объём \frac{1}{3}\sqrt2a^3
Радиус описанной сферы \frac{a}{2}\sqrt2
Радиус вписанной сферы \frac{a}{6}\sqrt6
Телесный угол при вершине 2\arccos\frac{7}{9}\approx 1.3593476 ср
Точечная группа симметрии Октаэдрическая (Oh)
Двойственный многогранник Куб
Развёртка октаэдра

́Октаэдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников[1], так называемых Платоновых тел.

Описание[править | править вики-текст]

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

S=2a^2\sqrt{3}


V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} ,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}.

двугранный угол: \alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ, где \phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3}).

Свойства октаэдра[править | править вики-текст]

  • Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
  • Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
  • В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
  • Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба.

Октаэдр в природе[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]