Октаэдр

Развёртка октаэдра

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

$S=2a^2\sqrt{3}$

$V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3$

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

$r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2}$ ,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

$r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}.$

двугранный угол: $\alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ$ , где $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$ .

Свойства октаэдра [править]

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
Правильный октаэдр имеет симметрию O_h, совпадающую с симметрией куба.

Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

Это заготовка статьи по стереометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Учебник "геометрия" за 10-11 класс)