Операда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств $\{R_n,\;n\geqslant 1\}$ с левым действием симметрических групп $S n$ на соответствующих $R n$ и с операциями композиции:

$R_{n_1}\times\ldots\times R_{n_m}\times R_m \to R_{n_1+\ldots+n_m}:(r_1,\;\ldots,\;r_m,\;r)\to r_1\ldots r_mr,$

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

$(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}r_1)\ldots(r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm})(r_1\ldots r_mr)$

и наличию единицы $\varepsilon\in R_1:(\varepsilon\ldots\varepsilon)r=r,\quad r\varepsilon=r$ .

Операда называется линейной, если $R n$ являются пространствами, действия симметрических групп $S n$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство $A\!$ c полилинейными операциями композиции:

$A^{\otimes n}\otimes_{S_n}R_n\to A:a_1\otimes\ldots\otimes a_n\otimes r\to a_1\ldots a_nr$

со свойствами унитарности $a\varepsilon=a$ и обобщённой ассоциативности:

$(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}r_1)\ldots(a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm})(r_1\ldots r_mr).$

[править] Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

Простейшей операдой является ассоциативное кольцо $R$ с единицей: $R_1=R,\quad R_{>1}=\{0\}$ . Алгебра над ней — это правый $R$ -модуль.
Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами $\{k(S_n),\;n\geqslant 1\}$ , а также и на $\{k(G^n),\;n\geqslant 1\}$ , где $G$ — моноид.

[править] История

Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года, немного позднее они были переоткрыты американским топологом Дж. Петером Мэем под именем операд и алгебр над ними. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Петера Мэя (об открытии Мэя см. здесь).

[править] Литература

Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Операда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Примеры

[править] История

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках