Операда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств \{ R_n, \; n\geqslant 1 \} с левым действием симметрических групп S_n на соответствующих R_n и с операциями композиции:

R_{n_1}\times\ldots\times R_{n_m}\times R_m \to R_{n_1+\ldots+n_m}:(r_1,\;\ldots,\;r_m,\;r)\to r_1\ldots r_mr,

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}r_1)\ldots(r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm})(r_1\ldots r_mr)

и наличию единицы \varepsilon\in R_1:(\varepsilon\ldots\varepsilon)r=r,\quad r\varepsilon=r.

Операда называется линейной, если R_n являются пространствами, действия симметрических групп S_n являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство A\! c полилинейными операциями композиции:

A^{\otimes n}\otimes_{S_n}R_n\to A:a_1\otimes\ldots\otimes a_n\otimes r\to a_1\ldots a_nr

со свойствами унитарности a\varepsilon=a и обобщённой ассоциативности:

(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}r_1)\ldots(a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm})(r_1\ldots r_mr).

Примеры[править | править вики-текст]

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

История[править | править вики-текст]

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Джеймсом Сташефом в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя (об открытии Мэя см. здесь). Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.

Литература[править | править вики-текст]

  • Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
  • Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
  • Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
  • May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
  • Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.