Оператор импульса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.

Определение на основе волны де Бройля[править | править вики-текст]

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом[1].

Одномерный случай

Решение одномерного уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

 \Psi = e^{i(kx-\omega t)} \,\!

Производная первого порядка по координате:

 \frac{\partial \Psi}{\partial x} = i k e^{i(kx-\omega t)} = i k \Psi \,\!

Выражая k из соотношения де Бройля:

 p=\hbar k\,\!

формула для производной ψ принимает следующий вид:

 \frac{\partial \Psi}{\partial x} = i \frac{p}{\hbar} \Psi \,\!

Таким образом, получаем:

 \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \,\!

Величины, которые измеряются в эксперименте, - это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная - это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Три измерения

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трехмерном случае решение уравнения Шредингера в виде плоских волн будет следующим:

 \Psi = e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r}-\omega t)} \,\!

где градиент

 \begin{align} \nabla \Psi & = \bold{e}_x\frac{\partial \Psi}{\partial x} + \bold{e}_y\frac{\partial \Psi}{\partial y} + \bold{e}_z\frac{\partial \Psi}{\partial z} \\ 
& = i k_x\Psi\bold{e}_x + i k_y\Psi\bold{e}_y+ i k_z\Psi\bold{e}_z \\
& = \frac{i}{\hbar} \left ( p_x\bold{e}_x + p_y\bold{e}_y+ p_z\bold{e}_z \right)\Psi \\
& = \frac{i}{\hbar} \bold{\hat{p}}\Psi \\
\end{align} \,\!

где \bold{e}_x, \bold{e}_y and \bold{e}_z - это единичные векторы для трехмерности, а значит

 \bold{\hat{p}} = -i \hbar \nabla \,\!

Это оператор импульса в координатном представлении - частные производные в нем берутся по отношению к пространственным переменным.

Определение на основе инвариантности к трансляциям[править | править вики-текст]

Трансляционный оператор обозначается как T(ϵ), где ϵ представляет собой величину трансляции и удовлетворяет следующему соотношению:

 T(\epsilon) | \psi \rangle =  \int dx T(\epsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle

которое становится

 \int dx | x + \epsilon \rangle \langle x | \psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \epsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle  \psi(x - \epsilon)

Считая ψ аналитической функцией (то есть дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости), её можно разложить в ряд Тейлора по x:

\psi(x-\epsilon) = \psi(x) - \epsilon {d \psi \over dx}

тогда:

 T(\epsilon) = 1 - \epsilon {d \over dx}  = 1 - {i \over \hbar} \epsilon \left ( - i \hbar{ d \over dx} \right )

Как известно из классической механики, импульс - это генератор трансляций, так что соотношение между операторами трансляции и импульса будет иметь вид:

 T(\epsilon) =  1 - {i \over \hbar} \epsilon \hat{p}

тогда

 \hat{p} = - i \hbar { d \over dx }\,.

Четырехмерный оператор импульса[править | править вики-текст]

Данный оператор имеет вид:

\hat{P}_\mu = \left(\frac{1}{c}\hat{E},-\bold{\hat{p}}\right) = i\hbar\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right) = i\hbar\partial_\mu \,\!

где ∂μ - это 4-градиент, и становится + перед трехмерным оператором импульса. Этот оператор появляется в релятивистской квантовой теории поля, так же как и уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения. Энергия и импульс комбинируются в 4-мерный вектор импульса и соответствуют частным производным первого порядка по времени и координате для соответствия лоренцовской инвариантности.

Свойства[править | править вики-текст]

Эрмитовость[править | править вики-текст]

Оператор импульса относится к эрмитовым операторам[2].

Коммутационные соотношения[править | править вики-текст]

Используя координатное или импульсное представление, можно показать, что:

 \left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar.

Доказательство:

Распишем выражение и домножим его на функцию  \psi ( x )

 \left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ]\psi ( x ) =  -xi \hbar {d \over dx} \psi ( x ) - (-i \hbar{d \over dx} (\psi ( x )x))

применив правило дифференцирования сложной функции получим:

 \left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ]\psi ( x ) =  -xi \hbar {d \over dx} \psi ( x ) + xi \hbar{d \over dx} \psi ( x ) + \psi ( x )i \hbar{d \over dx} \ x

сократим:

 \left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ]\psi ( x ) = \psi ( x )i \hbar

поделим обе части на функцию  \psi ( x )

 \left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ] = i \hbar

Таким, образом координата и импульс - сопряжённые величины.

Более того операторы компонент импульса также коммутативны.

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Можно показать что преобразование Фурье импульса - это оператор координаты. Используя запись в виде бра и кет векторов:

 \langle  x | \hat{p} | \psi \rangle = - i \hbar {d \over dx} \psi ( x )

То же применимо и для оператора координаты в импульсном представлении:

 \langle  p | \hat{x} | \psi \rangle =  i \hbar {d \over dp} \psi ( p )

и ещё одно важное соотношение:

 \langle p | \hat{x} | p' \rangle = i \hbar {d \over dp} \delta (p - p')
 \langle x | \hat{p} | x' \rangle = -i \hbar {d \over dx} \delta (x - x')

где \delta отвечает дельта функции Дирака.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2