Оператор координаты

В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

Определение

Оператор $\hat\mathbf{X}$ в координатном представлении есть сама координата x. В импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу, $\hat\mathbf{X} = i\hbar \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}$.

Свойства

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть

$[\hat\mathbf{X}, \hat\mathbf{P}] \not\equiv 0$

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

$[\hat{X},\hat{P_{x}}]= i\hbar$
$[\hat{Y},\hat{P_{y}}]= i\hbar$
$[\hat{Z},\hat{P_{z}}]= i\hbar$
и все остальные коммутаторы между $\hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z}, \hat{P_{x}}, \hat{P_{y}}, \hat{P_{z}}$ равны 0

Применение

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией ψ определяется как

$\langle x\rangle =(\hat\mathbf{X}\psi,\psi ) = \langle\psi\vert\hat\mathbf{X}\vert\psi\rangle = \int\limits_{V}{x\psi^\ast\psi}dV$

Источники

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2