Оператор набла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом \nabla (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат (ПДСК)[1] оператор набла определяется следующим образом:

\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k},

где \vec i, \vec j, \vec k — единичные векторы по осям x, y, z соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

\nabla= \left\{ {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right\}.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ \nabla используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве[2] следующего вида:

\nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n,

где \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_nединичные векторы по осям x_1, x_2, ..., x_n соответственно.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: \vec \nabla — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного \nabla.

  • Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.
  • Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла[править | править исходный текст]

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор \nabla на скаляр \phi, то получится вектор

\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi,

который представляет собой градиент функции \phi.

Если вектор \nabla скалярно умножить на вектор \vec{a}, получится скаляр

\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z} = \mathbf{\operatorname{div}}\,\vec a,

то есть дивергенция вектора \vec{a}.

Если \nabla умножить на \vec{a} векторно, то получится ротор вектора \vec{a}:

\nabla \times \vec a = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z} \\ a_x & a_y & a_z\end{vmatrix} = \left( {\partial{a_z}\over\partial y} - {\partial{a_y}\over\partial z} \right)\vec{i} \ + \ \left( {\partial{a_x}\over\partial z} - {\partial{a_z}\over\partial x} \right)\vec{j} \ + \ \left( {\partial{a_y}\over\partial x} - {\partial{a_x}\over\partial y} \right)\vec{k} = \mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec a
  • Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо \nabla \cdot \vec a нередко пишут (\nabla, \vec a), а вместо \nabla \times \vec a пишут [\nabla,\vec a]; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также \ \Delta. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,
\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi
\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка[править | править исходный текст]

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)
\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)
\Delta f = \nabla^2 f
\mathbf{\operatorname{grad}}\,(\mathbf{\operatorname{div}}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)
\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)
\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)
\Delta \vec v = \nabla^2 \vec v

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0
\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0

Два всегда совпадают:

 \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f

Три оставшихся связаны соотношением:

(\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})

Отличия оператора набла от обычного вектора[править | править исходный текст]

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием \nabla не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

\nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla,

ведь \nabla \cdot \vec v — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а \vec v \cdot \nabla представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля \vec {v}.

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

(\nabla \cdot \vec v) f \ne (\vec v \cdot \nabla) f

так как

(\nabla \cdot \vec v) f = \left( \frac{\part v_x}{\part x}+\frac{\part v_y}{\part y}+\frac{\part v_z}{\part z} \right)f = \frac{\part v_x}{\part x}f+\frac{\part v_y}{\part y}f+\frac{\part v_z}{\part z}f
(\vec v \cdot \nabla) f = \left( v_x \frac{\part}{\part x}+v_y \frac{\part}{\part y}+v_z \frac{\part}{\part z} \right) f = v_x \frac{\part f}{\part x}+v_y \frac{\part f}{\part y}+v_z \frac{\part f}{\part z}

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение (\vec v,\ \nabla,\ \vec v) \equiv \vec v \cdot (\nabla \times \vec v) было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

(\nabla x) \times (\nabla y) = \left( \vec i \, \frac{\part x}{\part x}+\vec j \, \frac{\part x}{\part y}+\vec k \, \frac{\part x}{\part z} \right) \times \left( \vec i \, \frac{\part y}{\part x}+\vec j \, \frac{\part y}{\part y}+\vec k \, \frac{\part y}{\part z} \right) =
 = (\vec i \cdot 1 +\vec j \cdot 0+\vec k \cdot 0) \times (\vec i \cdot 0+\vec j \cdot 1+\vec k \cdot 0) =  \vec i  \times \vec j = \vec {k}

(здесь первый оператор набла действует только на поле x, а второй — только на 'y', что как бы жестко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

(\vec u x )\times (\vec u y) =  x y (\vec u \times \vec u)  =  x y \vec 0 = \vec {0}

поскольку здесь x и y легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

(\nabla ; [\vec u; \vec v]) = 
(\nabla ; [\stackrel{\downarrow}{\vec u}; \vec v]) + (\nabla ; [\vec u; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = 
(\vec v ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec u}]) - (\vec u ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = \vec v \cdot \mbox{rot} \, \vec u - \vec u \cdot \mbox{rot} \, \vec v

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

История[править | править исходный текст]

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ \nabla в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла[3].

Существует мнение, что \nabla — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы[4]. «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа».

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. В других система координат — см. по ссылке ниже.
  2. Эта размерность n, то есть размерность пространства, на поля на (в) котором действует оператор, указывается явно или подразумевается из формулировки соответствующей теории или задачи.
  3. «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
  4. О. В. Мантуров и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Под ред. Л. В. Сабинина. Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.

См. также[править | править исходный текст]