Операции над множествами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств[править | править вики-текст]

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

A\subset B:\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow x\in B.

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если A\subset B и A\ne B, то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что \forall M:M\subset M. По определению \forall M:\varnothing\subset M.

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

A=B:\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A.

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

A\subseteq B

Операции над множествами[править | править вики-текст]

Бинарные операции[править | править вики-текст]

Ниже перечислены основные операции над множествами:

Если множества A и B не пересекаются,то A\cap B=\varnothing. Их объединение обозначают также: A+B=A\cup B.

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции[править | править вики-текст]

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):
\overline A=U\setminus A.
Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

Обозначение происходит из того, что \left|2^X\right|=2^{|X|} в случае конечных множеств.

Приоритет выполнения операций[править | править вики-текст]

Сначала выполняются операции абсолютного дополнения, затем пересечения, затем объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.