Операционное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи.

История[править | править вики-текст]

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования p  = {d\over dt} (см. Операторное исчисление). Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию украинского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая \frac{1}{p}f(t)  = \int\limits_{0}^{t}\!f(u)\,du и считая f(u)=0 для u<0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа \bar{f}(p)  = L \left[f(t)\right]  =\int\limits_{0}^\infty\! e^{-pt} f(t)\,dt и оператором дифференцирования {d\over dt}. Именно, если существует производная f^\prime(t), для которой L\left[{df\over dt}\right] существует и f(0)=0, то L\left[{df\over dt}\right]=p \bar{f}(p)

Свойства изображений[править | править вики-текст]

  • Линейность

Оригинал линейной комбинации функций равен линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t) \quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

где a и b – произвольные комплексные числа.

  • Теорема подобия
f(at) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} F \left(  \frac{p}{a}  \right),

где a>0.

  • Дифференцирование оригинала
f(t) \quad \Rightarrow \quad F(p);
f'(t) \quad \Rightarrow \quad pF(p) - f(0);
f''(t) \quad \Rightarrow \quad p^2F(p) - pf(0) - f'(0);
f'''(t) \quad \Rightarrow \quad p^3F(p) - p^2f(0) - pf'(0) - f''(0);
...
f^{(n)}(t) \quad \Rightarrow \quad p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - p^{n-3}f''(0) - ... - f^{(n-1)}(0).
  • Дифференцирование изображения
-tf(t) \quad \Rightarrow \quad F'(p).
  • Интегрирование оригинала
 \int\limits_0^t f(x)dx \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{p}F(p).
  • Интегрирование изображения
 \frac{f(t)}{t} \quad \Rightarrow \quad  \int\limits_p^{\infty} F(z)dz.
  • Теорема смещения
 e^{at}f(t) \quad \Rightarrow \quad  F(p-a).
  • Теорема запаздывания
 f(t-\tau) \quad \Rightarrow \quad  e^{-p\tau}F(p).
  • Теорема умножения (свёртки)
 \int\limits_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau \quad \Rightarrow \quad  F(p)\cdot G(p).

Изображения различных функций[править | править вики-текст]

Оригинал Изображение Оригинал Изображение Оригинал Изображение
~C ~\frac{C}{p} ~t\cdot \sin~\omega t ~\frac{2p\omega}{(p^2+\omega^2)^2} ~t\cdot \operatorname{sh}~\omega t ~\frac{2p\omega}{(p^2-\omega^2)^2}
~e^{at} ~\frac{1}{p-a} ~t\cdot \cos~\omega t ~\frac{p^2-\omega^2}{(p^2+\omega^2)^2} ~t\cdot \operatorname{ch}~\omega t ~\frac{p^2-\omega^2}{(p^2-\omega^2)^2}
~\sin~\omega t ~\frac{\omega}{p^2+\omega^2} ~\operatorname{sh}~\omega t ~\frac{\omega}{p^2-\omega^2} ~t^n ~\frac{n!}{p^{n+1}}
~\cos~\omega t ~\frac{p}{p^2+\omega^2} ~\operatorname{ch}~\omega t ~\frac{p}{p^2-\omega^2} ~t^a ~\frac{\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}
~e^{at}\sin~\omega t ~\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2} ~e^{at}\operatorname{sh}~\omega t ~\frac{\omega}{(p-a)^2-\omega^2} ~e^{at}t^n ~\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}
~e^{at}\cos~\omega t ~\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2} ~e^{at}\operatorname{ch}~\omega t ~\frac{p-a}{(p-a)^2-\omega^2}

Пример применения операторных методов[править | править вики-текст]

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача[править | править вики-текст]

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методом[править | править вики-текст]

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

U = iR + L\frac{di}{dt},

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй - на индуктивности L.

Делаем замену переменной ~i=ab и приводим уравнение к виду:

~U = Rab + L(a'b+ab');  \qquad  U = a(Rb + Lb')+La'b.

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

~Rb + Lb'=0.

Разделяем переменные:

~\frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad
\ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad
b = e^{-\frac{R}{L}t}.

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

~U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad
a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L};

Интегрируя, получаем

~a=\frac{L}{R}\cdot \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}+C = \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C; \qquad

Получаем выражение для тока

~i=ab=
\left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} 
= \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t};

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

~i(0)=0; \qquad
\frac{U}{R}+C=0;\qquad
C = -\frac{U}{R}.

Окончательно получаем

~i=
\frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).

Решение операторным методом[править | править вики-текст]

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

~i \Rightarrow I; \qquad
U \Rightarrow \frac{U}{p}; \qquad
iR \Rightarrow IR; \qquad
L\frac{di}{dt} \Rightarrow L \left[ pI-i(0) \right]= pLI.[1]

U \Rightarrow \frac{U}{p} получается потому, что изменение U во времени выражается функцией U = H(t)U (ключ замкнули в момент t = 0), где H(t) - ступенчатая функция Хевисайда, (H(t) = 0 при t < 0 и H(t) = 1 при t = 0 и t > 0, причём изображение H(t) есть 1/p).

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

~\frac{U}{p}=RI+pLI=I(R+pL).

Из последнего выражения найдём изображение тока:

~I=\frac{U}{p(R+pL)}.

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

~\frac{U}{p(R+pL)} = \frac{A}{p}+\frac{B}{R+pL}
= \frac{A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}
= \frac{AR+p(AL+B)}{p(R+pL)};
~AR=U; \qquad  A = \frac{U}{R};
~AL+B=0; \qquad  B=-AL= -\frac{UL}{R};
~I = \frac{U}{Rp}-\frac{UL}{R(R+pL)}
=\frac{U}{Rp}-\frac{U}{R(\frac{R}{L}+p)}
=\frac{U}{R} \left(\frac{1}{p} - \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \right).

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

~\frac{1}{p} \Leftarrow 1; \qquad  \frac{1}{\frac{R}{L}+p} \Leftarrow e^{-\frac{R}{L}t}.

Окончательно получаем

~i = \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right).

Вывод[править | править вики-текст]

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Zi, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

~u = iR; \quad \Rightarrow \quad U=IR \quad \Rightarrow \quad Z_R = R.

Для индуктивности:

~u = L\frac{di}{dt} \quad \Rightarrow \quad U=IpL  \quad \Rightarrow \quad Z_L = pL.

Для ёмкости:

~u = \frac{1}{C} \int idt \quad \Rightarrow \quad U=\frac{I}{pC}  \quad \Rightarrow \quad Z_C = \frac{1}{pC}.

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Замечания[править | править вики-текст]

Интересно отметить, что полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

~p \rightarrow j\omega

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

~Z_R = R; \qquad  Z_L = j\omega L; \qquad  Z_C = \frac{1}{j\omega C}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В иностранной литературе комплексная переменная p обычно обозначается буквой s.