Описанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Circumscribed Polygon.svg

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
  • Около любого правильного многоугольника(все углы равны) можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника[править | править исходный текст]

Окружность, описанная около треугольника
  • Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

  • 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус[править | править исходный текст]

Формулы радиуса описанной окружности

R = \frac {abc}{4S}
R = \frac {a}{2\sin\alpha} = \frac {b}{2\sin\beta} = \frac {c}{2\sin\gamma}
R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},
где:
a, b, c — стороны треугольника,
\alpha, \beta, \gamma — углы, лежащие против сторон a, b, c соответственно,
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника.

1

Положение центра описанной окружности[править | править исходный текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A, {\mathbf r}_B, {\mathbf r}_C радиус-векторы вершин треугольника, ~ \mathbf{r}_O  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

~ \mathbf{r}_O=  \alpha_A\mathbf{r}_A + \alpha_B\mathbf{r}_B+\alpha_C\mathbf{r}_C

где

\alpha_A = \frac{a^2}{8S^2}(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_B = \frac{b^2}{8S^2}(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_C = \frac{c^2}{8S^2}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B)

При этом a, b, c - длины сторон треугольника, противоположных вершинам A, B, C.

Уравнение описанной окружности[править | править исходный текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A = (x_A, y_A), {\mathbf r}_B = (x_B, y_B), {\mathbf r}_C= (x_C, y_C) координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, ~ \mathbf{r}_O= (x_O, y_O)  — координаты центра описанной окружности. Тогда


x_O=\frac{1}{4S}\begin{vmatrix}
\end{vmatrix} =0

Для точек ~(x, y), лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

  • Теорема о трезубце: Если W — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью, а I — центр вписанной окружности то |WI|=|WB|=|WC|.
  • Формула Эйлера: Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d^2 = R^2 - 2Rr.

Для четырехугольника[править | править исходный текст]

Cyclic quadrilateral.svg

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (\pi радиан).

Можно описать окружность около:

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[1]

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

Для многоугольника[править | править исходный текст]

  • Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.
  • Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править исходный текст]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

  • Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[2] описанной окружности будет равен[3]:78,83
\operatorname{tg}R=\sqrt{\frac{-\cos P}{\cos (P-A)\cos (P-B)\cos (P-C)}}\,
  • Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[3]:21-22.


См. также[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «окружность»

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Теорема Птолемея
  2. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
  3. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править исходный текст]