Описанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Опи́санная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать $O$ ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Содержание

1 Свойства
2 Примечания
3 Литература
4 См. также

[править] Свойства

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

[править] Для треугольника

Окружность, описанная вокруг треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный

Тупоугольный

Прямоугольный

3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников, пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

$R = \frac {abc}{4S}$

$R = \frac {a}{2\sin\alpha}$

Где:

a, b, c

— стороны треугольника,

α

— угол, лежащий против стороны

a

,

S

— площадь треугольника.

Положение центра описанной окружности.

Пусть $~ {\mathbf r}_A, {\mathbf r}_B, {\mathbf r}_C$ радиус-векторы вершин треугольника, $~ \mathbf{r}_O$ — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

$~ \mathbf{r}_O= \alpha_A\mathbf{r}_A + \alpha_B\mathbf{r}_B+\alpha_C\mathbf{r}_C$

где

$\alpha_A = \frac{a^2}{8S^2}(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C), \qquad \alpha_B = \frac{b^2}{8S^2}(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C), \qquad \alpha_C = \frac{c^2}{8S^2}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B)$

Уравнение описанной окружности.

Пусть $~ {\mathbf r}_A = (x_A, y_A), {\mathbf r}_B = (x_B, y_B), {\mathbf r}_C= (x_C, y_C)$ координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, $~ \mathbf{r}_O= (x_O, y_O)$ — координаты центра описанной окружности. Тогда

$x_O=\frac{1}{4S}\begin{vmatrix} x_A^2 + y_A^2 & y_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & y_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & y_C & 1 \end{vmatrix} \qquad y_O=-\frac{1}{4S}\begin{vmatrix} x_A^2 + y_A^2 & x_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & x_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & x_C & 1 \end{vmatrix}$

а уравнение описанной окружности имеет вид

$\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_A^2 + y_A^2 & x_A & y_A & 1 \\ x_B^2 + y_B^2 & x_B & y_B & 1 \\ x_C^2 + y_C^2 & x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} =0$

Для точек $~(x, y)$ , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

Теорема о трезубце: Если $W$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью, а $I$ — центр вписанной окружности то $| W I | = | W B | = | W C |$ .
Формула Эйлера: Если $d$ — расстояние между цетрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны $r$ и $R$ соответственно, то $d 2 = R 2 - 2 R r$ .

[править] Для четырехугольника

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность вокруг:

любого прямоугольника (частный случай квадрат)
любой равнобедренной трапеции

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме двух произведений длин пар противоположных сторон:^[1]

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

[править] Для многоугольника

Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

[править] Примечания

↑ Теорема Птолемея

[править] Литература

Элементарная геометрия / Киселёв А.П.. — М.: Просвещение, 1980.
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 87. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3