Определитель Грама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

\begin{vmatrix} 
\langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ 
\langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
\langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ 
\end{vmatrix},

где \langle e_i,\;e_j\rangle — скалярное произведение векторов \mathbf{e}_i и \mathbf{e}_j.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n порождает подпространство U. Зная, чему равны скалярные произведения вектора \mathbf{x} из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по векторам \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n.

Исходя из разложения

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

\begin{cases}
\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n= \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle; \\
\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle; \\
\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad \\
\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle. \\
\end{cases}

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама[править | править вики-текст]

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n порождает подпространство U. Зная скалярные произведения вектора \mathbf{x} из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от \mathbf{x} до U.

Минимум расстояний |\mathbf{x}-\mathbf{u}| по всем векторам \mathbf{u} из U достигается на ортогональной проекции вектора \mathbf{x} на U. При этом \mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}, где вектор \mathbf{n} перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от \mathbf{x} до U равно модулю вектора \mathbf{n}. Для вектора \mathbf{u} решается задача о разложении (см. выше) по векторам \mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix}
\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ 
\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\
\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} 
\end{vmatrix},

где \Gamma — определитель Грама системы. Вектор \mathbf{n} равен:

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix}
\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ 
\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\
\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} 
\end{vmatrix}

и квадрат его модуля равен

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n)}.

Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:

  • Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. также[править | править вики-текст]