Оптическая теорема

Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния $f(\theta )$ и сечение рассеяния $\sigma$.

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

$\sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f(0),$

где $f(0)$ — амплитуда рассеяния вперёд, $\sigma$ — полное сечение рассеяния, $k$ — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы:

$f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.$

Доказательство

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

$\psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},$

где $\mathbf {n}$ — направление падения частиц, $\mathbf {n} '$ — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций $\psi$ с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив $\psi$ на произвольные коэффициенты $F(\mathbf {n} )$ и проинтегрировав по всем направлениям $\mathbf {n}$, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

$\int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r}}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .$

Поскольку расстояние $r$ велико, то множитель $e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}$ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора $\mathbf {n}$. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений $\mathbf {n}$, при которых показатель экспоненты имеет экстремум ($\mathbf {n} \pm \mathbf {n} '$). В каждой из этих областей множитель $F(\mathbf {n} )\approx F(\pm \mathbf {n} ')$ можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт

$2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .$

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель $2\pi i/k$:

${\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}}F(\mathbf {n} '),$

где

${\hat {S}}=1+2ik{\hat {f}},$

а ${\hat {f}}$ — интегральный оператор:

${\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .$

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния ${\hat {S}}$ должен быть унитарным, то есть

${\hat {S}}{\hat {S}}^{+}={\hat {1}},$

или (с учётом выражения для ${\hat {S}}$):

${\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.$

Наконец, учитывая определение ${\hat {f}}$, получаем утверждение теоремы:

$f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.$

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — С. 619. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.