Ортогональные траектории

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Ортогональная траектория»)
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если y_1' — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а y_2' — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то y_1' и y_2' должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

y_1' = -{1\over y_2'}

Пусть у нас есть семейство кривых g(x, y) = C, где C — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путем решения системы дифференциальных уравнений:

\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = 0

Используя определение градиента, можно записать:

\nabla f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)

Таким образом:

\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением y = kx. Дифференцируя данное уравнение по переменной x, получаем:

y' = k = const

Исключим параметр k из системы:


~\mathrm{
\begin{cases}
  y = kx \\
  y' = k
\end{cases}
\Rightarrow
y' = \frac{y}{x}
}

Заменим y' на \left( -\frac{1}{y'} \right):

-\frac{1}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = -\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

ydy = -xdx \Rightarrow \int{ydy} = -\int{xdx} \Rightarrow \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C

Данное уравнение есть ни что иное, как уравнение окружности радиуса \sqrt{2C}. Действительно:

R^2 = 2C \Rightarrow x^2 + y^2 = R^2

Литература[править | править вики-текст]

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)

Ссылки[править | править вики-текст]