Ортогональные траектории

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если $y_1'$ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а $y_2'$ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то $y_1'$ и $y_2'$ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

$y_1' = -{1\over y_2'}$

Пусть у нас есть семейство кривых $g(x, y) = C$, где $C$ — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путем решения системы дифференциальных уравнений:

$\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = 0$

Используя определение градиента, можно записать:

$\nabla f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

Таким образом:

$\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0$

Примеры

Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением $y = kx$. Дифференцируя данное уравнение по переменной $x$, получаем:

$y' = k = const$

Исключим параметр $k$ из системы:

$~\mathrm{ \begin{cases} y = kx \\ y' = k \end{cases} \Rightarrow y' = \frac{y}{x} }$

Заменим $y'$ на $\left( -\frac{1}{y'} \right)$:

$-\frac{1}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = -\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:

$ydy = -xdx \Rightarrow \int{ydy} = -\int{xdx} \Rightarrow \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C$

Данное уравнение есть ни что иное, как уравнение окружности радиуса $\sqrt{2C}$. Действительно:

$R^2 = 2C \Rightarrow x^2 + y^2 = R^2$

Литература

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

Ссылки

• Ортогональные траектории