Ортогональные функции

Две вообще говоря комплекснозначные функции $\varphi_1(t)$ и $\varphi_2(t)$, принадлежащие пространству Лебега $L_2(E)$, где $E$ - измеримое множество называются ортогональными, если

$\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0$

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом $w$ функции $f$ и $g$, если

$\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0$

где $\langle f(x), g(x)\rangle$ — скалярное произведение векторов $f(x)$ и $g(x)$ — значений векторнозначных функций $f$ и $g$ в точке $x$, $x$ — точка области $\Omega$, а $d\Omega$ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных $f(x)$, $g(x)$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных $f(x)$, $g(x)$: $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f (x) g(x)$.

Требование принадлежности функций пространству $L_2(E)$ связано с тем, что при $p \neq 2$ пространства $L_p(E)$ не образуют евклидова пространвства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

1. $\sin x$ и $\cos x$ являются ортогональными функциями на интервале $[0, \pi]$
2. $\sin (2\pi knx$) и $\cos (2\pi knx)$, где $n$ — целое ортогональны на интервале $[0, T], T = 1 / k$
3. $x$ и $1$ ортогональны на интервале $[-1, 1]$

См. также

• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье