Ортогональные функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Две вообще говоря комплекснозначные функции \varphi_1(t) и \varphi_2(t), принадлежащие пространству Лебега L_2(E), где E - измеримое множество называются ортогональными, если

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.


Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом w функции f и g, если

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

где \langle f(x), g(x)\rangle — скалярное произведение векторов f(x) и g(x) — значений векторнозначных функций f и g в точке x, x — точка области \Omega, а d\Omega — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f(x), g(x) скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f(x), g(x): \langle f(x), g(x)\rangle = \bar f (x) g(x).


Требование принадлежности функций пространству L_2(E) связано с тем, что при p \neq 2 пространства L_p(E) не образуют евклидова пространвства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример[править | править исходный текст]

  1. \sin x и \cos x являются ортогональными функциями на интервале [0, \pi]
  2. \sin (2\pi knx) и \cos (2\pi knx), где n — целое ортогональны на интервале [0, T], T = 1 / k
  3. x и 1 ортогональны на интервале [-1, 1]

См. также[править | править исходный текст]