Ортодромия

Ортодрома делит сферу на две полусферы

Ортодромия, ортодрома (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения. В картографии и навигации — название геодезической линии кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки. В отличие от локсодромии ортодромия пересекает меридианы под разными углами. В судо- и самолётовождении, где Земля принимается за шар, ортодромия представляет собой дугу большого круга.

Экватор и меридианы являются частными случаями ортодромии. Через две точки на земной поверхности, расположенные не на противоположных концах одного диаметра Земли, можно провести только одну ортодромию.

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Параллели (за исключением экватора) не являются ортодромиями.

Расчёт ортодромии

Длина, начальный и конечный азимуты, широты промежуточных точек ортодромии рассчитываются по следующим формулам (выводятся с помощью соотношений сферической тригонометрии).

Длина ортодромии: $D= 111{,}12 * \arccos(\sin \varphi _1 * \sin \varphi _2 + \cos \varphi _1 * \cos \varphi _2 * \cos(\lambda _2- \lambda _1))$.

Начальный азимут: $\mathrm{ctg}\,\alpha _1 = \cos\varphi _1 \mathrm{tg}\,\varphi _2 / \sin(\lambda _2 - \lambda _1) - \sin\varphi _1 / \mathrm{tg}\,(\lambda _2 - \lambda _1)$.

Конечный азимут: $\mathrm{ctg}\,\alpha _2 = \sin\varphi _2 / \mathrm{tg}\,(\lambda _2 - \lambda _1) - \cos\varphi _2 \mathrm{tg}\,\varphi _1 / \sin(\lambda _2 - \lambda _1)$.

Широта промежуточной точки: $\varphi = \mathrm{arctg}\,((\mathrm{tg}\,\varphi _1 * \sin(\lambda _2 - \lambda)/ \sin(\lambda _2 - \lambda _1)) + (\mathrm{tg}\,\varphi _2 * \sin(\lambda - \lambda _1) / \sin(\lambda _2 - \lambda _1))$.

Обозначения: $D$ — длина ортодромии, $\varphi _1$ — широта точки отбытия, $\lambda _1$ — долгота точки отбытия, $\varphi _2$ — широта точки прибытия, $\lambda _2$ — долгота точки прибытия, $\varphi$ — широта промежуточной точки, $\lambda$ — долгота произвольно взятой промежуточной точки ортодромии, 111,12 — длина дуги 1° меридиана (может быть выбрана иная величина).

Для примера возьмём перелёт из Внукова (55.596111, 37.267555°35′46″ с. ш. 37°16′03″ в. д.55.596111° с. ш. 37.2675° в. д.  ) в Пулково(59.800278, 30.262559°48′01″ с. ш. 30°15′45″ в. д.59.800278° с. ш. 30.2625° в. д.  ).

В десятичном выражении координаты точек отбытия и прибытия выглядят так: 55,596111, 37,2675 и 59,8002778, 30,2625. Длина дуги 1° меридиана — 111,3 км.

Находим длину ортодромии: sin55,596111 * sin59,8002778 + cos55,596111 * cos59,8002778 * cos(30,2625 — 37,2675) = 0,825075 * 0,864277 + 0,565023 * 0,5030158 * 0,9925355 = 0,71309335 + 0,282094 = 0,99518735. acos0,99518735 = 5,62346633. 5,62346633 * 111,3 = 625,892 км.

Находим начальный азимут: cos55,596111 tg59,8002778 / sin(30,2625 — 37,2675) — sin55,596111 / tg(30,2625 — 37,2675) = 0,565023 * 1,7181812 / (-0,121956)- 0,825075 / (-0,122873) = −7,9603455 + 6,71486 = −1,2454855. −1,2454855⁻¹ = −0,80289975. tg(-0,80289975) = −38,761° = 321,239°.

Находим конечный азимут: sin59,8002778 / tg(30,2625 — 37,2675) — cos59,8002778 * tg55,596111 / sin(30,2625 — 37,2675) = 0,864277 / (-0,122873) — 0,5030158 * 1,4602505 / (-0,121956) = −7,033905 — (-6,024605) = −1,0093. −1,0093⁻¹ = −0,990786. atg(-0,990786) = −44,73481 = 315,2652° или 315°15′55″.

В геометрии

В геометрии ортодромия — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения.

См. также

• Картография
• Морская навигация
• Воздушная навигация
• Локсодрома

Ссылки

• Онлайн калькулятор : Путевые углы и расстояние между двумя точками на ортодроме