Ортонормированная система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ортонорми́рованная система элементов линейного пространства со скалярным произведением — частный случай ортогональной системы, когда каждый элемент системы имеет единичную длину (в смысле расстояния, индуцируемого скалярным произведением).

Для любых элементов этой системы $\varphi_i, \varphi_j$ скалярное произведение $(\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}$ , где $δ i j$ — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\vec a$ может быть вычислено по формулам: $\vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i$ , где $\alpha_i = (\vec a, \varphi_i)$ .

[править] Примеры

Функции $\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t)$ образуют ортонормированную систему функций на конечном интервале $[a, b]$ , если для них выполняется условие

$\int\limits_{a}^{b}\!\varphi_i(t)\varphi_j(t)\,dt =\left\{\begin{matrix} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{matrix}\right. = \delta_{ij}$ .