Ортонормированная система

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение

Для любых элементов этой системы $\varphi_i, \varphi_j$ скалярное произведение $(\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}$, где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\vec a$ может быть вычислено по формулам: $\vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i$, где $\alpha_i = (\vec a, \varphi_i)$.

Примеры

• В конечномерном пространстве $R^n$ ортонормированной системой будет набор векторов:

$e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,0,\dots,0),\dots, e_n=(0,0,\dots,0,1)$.

• В пространстве $L^2[0,l]$ ортонормированной системой будет множество функций:

$\varphi_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin k\frac{\pi}{l}x$.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве $L^2[0,l]$.

См. также

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены