Ортонормированная система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение[править | править исходный текст]

Для любых элементов этой системы \varphi_i, \varphi_j скалярное произведение (\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}, где \delta_{ij} — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента \vec a может быть вычислено по формулам: \vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i, где \alpha_i = (\vec a, \varphi_i).

Примеры[править | править исходный текст]

  • В конечномерном пространстве R^n ортонормированной системой будет набор векторов:
e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,0,\dots,0),\dots, e_n=(0,0,\dots,0,1).
  • В пространстве L^2[0,l] ортонормированной системой будет множество функций:
\varphi_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin k\frac{\pi}{l}x.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве L^2[0,l].


См. также[править | править исходный текст]