Основная теорема о вычетах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема о вычетах

Содержание 1 Теорема 2 Пример 3 Внешние ссылки 4 См. также

[править] Теорема

Если f аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

, где  — вычет f в точке a_k.

Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти ее вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, использую основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав ее правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

[править] Пример

Интеграл

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру C, указанному на рисунке (a > 1). Интеграл равен

Так как e^itz — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где z² + 1 = 0. Т.к. z² + 1 = (z + i)(z − i), это возможно лишь при z = i или z = − i. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

Вычет f(z) в z = i равен

Тогда, по основной теореме о вычетах:

Контур C можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

Поэтому

Можно показать, что при t > 0:

Поэтому, если t > 0, то

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку − i вместо i, можно показать, что при t < 0:

В итоге получаем:

(При t = 0 интеграл вычислим обычными методами анализа и равен π)

[править] Внешние ссылки

• Residue theorem in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews

[править] См. также

• Теорема Мореры
• Вычет