Основная теорема о вычетах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Ее часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Теорема[править | править вики-текст]

Если f аналитична в некоторой замкнутой односвязной области \overline G\subset\mathbb C, за вычетом конечного числа особых точек a_1,a_2,\dots,a_n, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру \partial G, то справедлива следующая формула:

\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z), где \mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f — вычет f в точке a_k.

Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти ее вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав ее правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример[править | править вики-текст]

Интеграл

\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx
Контур интегрирования.

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру C, указанному на рисунке (a>1). Интеграл равен

\int\limits_C {f(z)}\,dz =\int\limits_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.

Так как e^{itz} — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где z^2+1=0. Т.к. z^2+1=(z+i)(z-i), это возможно лишь при z=i или z=-i. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

\frac{e^{itz}}{z^2+1} \,\! {}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\,\!
{}=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \,\!

Вычет f(z) в z=i равен

\operatorname{res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.

Тогда, по основной теореме о вычетах:

\int\limits_C f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname{res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.

Контур C можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

\int\limits_{\mbox{straight}}+\int\limits_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.

Поэтому

\int\limits_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int\limits_{\mbox{arc}}.

Можно показать, что при t>0:

\int\limits_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz
\rightarrow 0; \quad a\rightarrow\infty.

Поэтому, если t>0, то

\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку -i вместо i, можно показать, что при t<0:

\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,

В итоге получаем:

\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.

(При t=0 интеграл вычислим обычными методами анализа и равен \pi)

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]