Основная теорема теории Галуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определенного вида.

Пусть E\supset F — конечное расширение Галуа. Основная теорема утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством промежуточных полей K вида E\supset K\supset F и множеством подгрупп группы Галуа данного расширения (более того, теорема явным образом задаёт это соответствие).

Описание соответствия[править | править вики-текст]

Для данного конечного расширения E\supset F соответствие устроено следующим образом:

  • Для любой подгруппы H группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое EH, — это множество тех элементов поля E, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из H, с индуцированными из E операциями.
  • Для любого промежуточного поля, соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.

Например, поле E соответствует тривиальной подгруппе, а F — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).

Свойства соответствия[править | править вики-текст]

Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами.

Пример[править | править вики-текст]

Решётка подполей и соответствующая решётка подгрупп

Рассмотрим поле \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3). Каждый его элемент можно записать в виде

a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d(\sqrt 2 \cdot \sqrt 3),

где a, b, c, d — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\supset \mathbb Q, поскольку это расширение порождается \sqrt 2 и \sqrt 3, любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка \sqrt 2 и -\sqrt 2 (обозначим этот автоморфизм f), перестановка \sqrt 3 и -\sqrt 3 (автоморфизм g) и их композиция fg. Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:

f(a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d\sqrt 6)=a-b\sqrt 2+c\sqrt 3-d\sqrt 6
g(a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d\sqrt 6)=a+b\sqrt 2-c\sqrt 3-d\sqrt 6

Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства f(ab)=f(a)\cdot f(b) достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:

G=\{1,f,g,fg\}

Она имеет три нетривильные подгруппы:

  • Автоморфизмы из подгруппы {1, f} сохраняют элементы промежуточного поля Q(√3).
  • Автоморфизмы из {1, g} сохраняют Q(√2).
  • Автоморфизмы из {1, fg} сохраняют Q(√6).

Приложения[править | править вики-текст]

Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.

Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня n-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле F, порождённое коэффициентами многочлена и поле E, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей

E=K_n\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_1\supset K_0=F

такая, что K_{i+1}=K_i(\alpha), где \alpha — корень уравнения x^n-a, a\in K_i, причем поле K_i содержит все корни уравнения x^n-1. В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа G_i/G_{i+1} существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на фундаментальной теореме теории Галуа.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
  • Marcus Daniel Number Fields. — New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1