Деление с остатком

Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) — арифметическая операция, вид операции деления, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.

Остаток от деления образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае если числа делятся друг на друга без остатка или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Определение

Натуральные числа

Разделить целое число $a\,$ на натуральное число $0 < b < a\,$ с остатком означает представить его в виде:

$a = b\,q + r,\quad 0 \leqslant r < b \quad (q \in \mathbb{Z},\,r \in \mathbb{Z}).$

При этом $q\,$ называется неполным частным, а $r\,$ — остатком от деления $a$ на $b.$

Пример:

• При делении с остатком положительного числа $a = 78$ на $b = 33$ получаем неполное частное $q = 2$ и остаток $r = 12$. Проверка: $78 = 33 \cdot 2 + 12.$

Обобщения

Целые числа

Формула

$q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b$

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа $a$ на целое число $b$. При этом выполняется соотношение $a = p b+q$ и неравенство $0\leqslant q<|b|$.

Примеры:

• так как остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое, то математически верным будет следующее решение :

При делении с остатком отрицательного числа $a = -78$ на $b = 33$ получаем неполное частное $q = -3$ и остаток $r = 21$.  Проверка: $-78 = 33 \cdot (-3) + 21.$ 

−

• При делении с остатком положительного числа $a = 17$ на $b = 33$ получаем неполное частное $q = 0$ и остаток $r = 17$. Проверка: $17 = 33 \cdot 0 + 17.$

Вещественные числа

Если два числа $a$ и $b$ (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, $a$ может быть поделено на $b$ без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если $a,b\in \mathbb{R}, b\ne 0$, то $~a = p b+q$, где $0\leqslant q< |b|$

Пример:

$~ 7{,}9 : 2{,}1 = 3$ (остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов $f(x)$ и $g(x)$ степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

$f(x) = q(x) g(x) + r(x) \quad$, причём $\quad \deg(r) < \deg(g).$

Пример:

$\frac{2x^2 + 4x + 5}{x+1} = 2x + 2$ (остаток 3), так как 2x² + 4x + 5 = (x + 1)(2x + 2) + 3

В программировании

Операция вычисления остатка в различных языках программирования

Язык	Оператор	Знак результата
ActionScript	%	Делимое
Ada	mod	Делитель
	rem	Делимое
ASP	Mod	Не определено
Си (ISO 1990)	%	Не определено
Си (ISO 1999)	%	Делимое
C++	%	Не определено
C#	%	Делимое
ColdFusion	MOD	Делимое
Common Lisp	mod	Делитель
	rem	Делимое
Delphi	mod	Делимое
Eiffel	\\	Делимое
Microsoft Excel	=MOD() (англ. версия) =ОСТАТ() (рус. версия)	Делитель
Euphoria	remainder	Делимое
FileMaker	Mod	Делитель
Fortran	mod	Делимое
	modulo	Делитель
GML (Game Maker)	mod	Делимое
	div	Делитель
J	|~	Делитель
Java	%	Делимое
JavaScript	%	Делимое
Lua	%	Делитель
Mathematica	Mod	Делитель
MATLAB	mod	Делитель
	rem	Делимое
MySQL	MOD %	Делимое
Objective Caml	mod	Не определено
Pascal	mod	Делимое
Perl	%	Делитель
PHP	%	Делимое
PL/I	mod	Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)	mod	Делитель
Python	%	Делитель
QBasic	MOD	Делимое
R	%%	Делитель
RPG	%REM	Делимое
Ruby	%	Делитель
Scheme	modulo	Делитель
SenseTalk	modulo	Делитель
	rem	Делимое
Tcl	%	Делитель
Verilog (2001)	%	Делимое
VHDL	mod	Делитель
	rem	Делимое
Visual Basic	Mod	Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получении случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Для нахождения минимального неотрицательного остатка от деления числа a на положительное число b, где a может принимать как положительные, так и отрицательные значения, можно воспользоваться следующей формулой:

(b+(a mod b)) mod b

См. также

• Делимость
• Сравнение по модулю