Открытые математические проблемы

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

• Проблемы Гильберта
• Проблемы Ландау
• Проблемы тысячелетия
• Проблемы Смейла

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Теория чисел

• Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?
• Проблема Варинга. Функция Харди $G(n)$ — наименьшее $k$ такое, что уравнение $x_1^n+x_2^n + \dots + x_k^n = N$ разрешимо при $N \ge N_0(n)$. Значения этой функции известны только для $n$ равных 2 и 4.
• Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?
• Гипотеза Биля. Верно ли, что если $A^x+B^y=C^z,$ где $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$, то $A,\;B,\;C$ имеют общий простой делитель?
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
• Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?
• Числа ван дер Вардена (англ.). При каком наименьшем N при любом разбиении множества $\{1, 2, \dots, N\}$ на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?

Геометрия

• В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
• На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?
• Существует ли такая константа $A$, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь $A$, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?
• Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?
• Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?
• Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?
• Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
• У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?
• Даны положительные действительные числа $S_0,\;\ldots,\;S_n$. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?
• Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?
• При каком минимальном $V$ любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма $V?$
• Чему равно хроматическое число $n$-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости (Проблема Хэдвигера — Нельсона (англ.)); другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет.
• Задача Томсона. Как разместить $n$ одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для $n=2$, 3, 4, 6 и 12). Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из $n$ точек?
• Как разместить $n$ точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?
• Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.
• Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08.
• Задача со счастливым концом. При каком минимальном $m$ среди любых $m$ точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого $n$-угольника? Решение известно только для $n<7$. Результат для $n=6$ (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
• Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 13.
• В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?
• Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году.
• Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?
• Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?

Задачи упаковки

• Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса $R$?
• Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?
• Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?

Многомерные пространства

• Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью $n>4$? Эта задача решена лишь для $n=8$ (240) и $n=24$ (196 560).
• Задача плотнейшей упаковки шаров в $n$-мерном евклидовом пространстве для $n>3$. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.
• Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 — положителен)

Механика

• Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?
• Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
• Однородное твёрдое тело плавает в воде (выталкивающая сила направлена нормально к поверхности и прямо пропорциональна глубине) и находится в равновесии при любой ориентации. Можно ли утверждать, что оно является шаром?

Алгебра

• Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы $H$ существует поле алгебраических чисел $\mathbf{F}$, такое что $\mathbf{F}$ является расширением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})$ изоморфна $H$.
• Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно.
• Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?
• Является ли кольцо периодов полем?

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на русском и английском языках.

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.

Свердловская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп.

Анализ

• Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой $\mathrm{Re}(z)=1/2$?
• Чему равна постоянная Миллса (англ.)? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
• До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как $\pi$ и $e$; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа $\pi$ бесконечное количество раз.
• Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?
• Является ли $\ln 2$ нормальным числом?
• Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа $\pi$, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
• Сходятся ли ряды $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n}$ и $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?$

Вопросы иррациональности

• Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}.$ Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.
• Неизвестно, являются ли $\pi$ и $e$ алгебраически независимыми.
• Неизвестно, являются ли ${^n\pi}$ или ${^n e}$ целыми числами при каком-либо положительном целом $n$ (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ целым.
• Неизвестно, может ли ${^n q}$ быть целым, если $n$ — положительное целое число, а $q$ — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях $n=1,\,2,\,3$ ответ отрицателен).
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${^3 x}=2, \, x=1.47668433\dots$ алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${^4 x}=2, \, x=1.44660143\dots$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для любого большего показателя тетрации также открыта.
• Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: $\pi, \pi^2, \ln 2, \ln 3, \zeta(3)$.
• Неизвестно, является ли первое число Скьюза $e^{e^{e^{79}}}$ целым числом.
• Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана $\zeta(2n+1)$ для всех натуральных $n$?
• Трансцендентны ли значения гамма-функции $\Gamma(1/n)$ для всех целых $n>1$?
• Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?
• Трансцендентна ли постоянная Пелля?
• Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?

Комбинаторика

• Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
• Существование конечной проективной плоскости любого натурального порядка.
• Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.

Теория графов

• Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более $\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil$.
• Гипотеза Хадвигера — каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу $K_n$.
• Гипотеза Улама:
  • а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
  • б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
• Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра.
• Любой кубический граф имеет простой цикл длины $2^n$.
• В любом графе можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
• В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.

Теория узлов

• Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?
• Чему равно количество простых узлов (англ.) с n двойными точками (англ.) для n > 16? Является ли эта последовательность строго возрастающей? Значения для n < 17 даёт последовательность A002863 в OEIS.

Теория алгоритмов

Вопросы алгоритмической разрешимости

• Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
• Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах.
• Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц $2\times 2$ определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу.
• Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?

Теория сложности вычислений

• P = NP?
• Является ли задача изоморфизма графов NP-полной?
• Принадлежит ли задача нахождения простого множителя натурального числа к классу P?
• Принадлежит ли задача распознавания тривиального узла (англ.) к классу P?
• Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения целых чисел. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Мартина Фюрера, выполняющийся за $n \log n\,2^{O(\log^* n)}$, где $\log^*$ — итерированный логарифм (англ.).
• Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения матриц. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Копперсмита — Винограда, работающий за $O(n^{2{,}3727})$ (однако с непрактично большим коэффициентом).

Другие проблемы теории алгоритмов

• Проблема «усердного бобра» (англ.). Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с $n$ состояниями и алфавитом $\{0,\;1\}$ на заполненной нулями ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех $n$, и пока известны только значения для $n<5$.

Аксиоматическая теория множеств

• В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
• Проблема Скулема. Рассмотрим множество $S$ функций одного натурального переменного $n$, построенных из термов $1, n$ и замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций $f, g$ из этого множества будем писать $f \preccurlyeq g$, если $f(n) \leqslant g(n)$ выполняется для всех достаточно больших $n$. Известно, что отношение $\preccurlyeq$ вполне упорядочивает множество $S$. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем $\varepsilon_0$ и не больше чем первый критический ординал $\tau_0 = \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}}$) Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).
• Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) α, удовлетворяющим условиям α ≠ α² и α = α³?

Теория доказательств

• Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано? Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.

Вычислительная математика

• Определить предельный уровень аппроксимации $n$-стадийного метода Рунге — Кутты (одностадийный = метод Эйлера = $O(h)$, двухстадийный = модифицированный метод Эйлера = $O(h^2)$, четырёхстадийный = классический метод Рунге — Кутты = $O(h^4)$, пятистадийный = метод Фельберга = тоже $O(h^4)$).

Дифференциальные уравнения

• Неизвестно точное решение уравнения Ван-дер-Поля (англ.):

$\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^ 2 x = 0$

Известные проблемы, недавно решённые

• Проблема четырёх красок
• Великая теорема Ферма
• Гипотеза Пуанкаре
• Гипотеза о раскраске дорог (англ.)

См. также

• Шотландская книга

Ссылки

• Open Problem Garden (англ.)
• Open Questions: Mathematics (англ.)
• The Open Problems Project (англ.)
• Открытые математические проблемы в Google Directory (англ.)
• Видеоклипы о нерешённых математических проблемах
• http://unsolvedproblems.org/