Отрицательное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при таком расширении множества натуральных чисел, к которому вынуждает операция, обратная операции сложения — операция вычитания, если её применять для любых пар натуральных чисел, а не только для тех, которые действительно могут быть получены сложением натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо), названное «целые числа», состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля. При дальнейших расширениях множества чисел рациональными, вещественными и прочими числами, для них по умолчанию и тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения.

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

n + \left( -n \right) = 0.

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

b - a = b + \left( -a \right).

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

-24 = 5 \cdot (-5) + 1 =  5 \cdot (-4) - 4.
Отрицательные значения на шкале термометра

Свойства отрицательных чисел[править | править вики-текст]

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

  1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
  2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
  3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Исторический очерк[править | править вики-текст]

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0-4=0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)[1].

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Знаменитые отрицательные числа[править | править вики-текст]

Число Смысл числа Примечания
−273,15 °C Абсолютный нуль температуры Это ноль градусов по шкале Кельвина.
−1,602 176 565·10−19 Кл Заряд электрона Элементарный заряд может быть и положительным — у протонов и позитронов.
−13,7 млрд лет Приблизительный момент Большого взрыва Начало формирования нашей Вселенной
−2,7·10−9 Константа Де Брюйна — Ньюмэна (англ.) Числовое значение — по сведениям 2000-го года.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.