Парабола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 26 января 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 10 правок.

Перейти к: навигация, поиск

Парабола, её фокус и директриса

Коническое сечение:
Эксцентриситет:	$\textstyle e=1$
Уравнение:	$\textstyle y^2=2px$
гипербола · парабола · эллипс · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Содержание

1 Уравнения
- 1.1 Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
2 Свойства
3 Построение
4 Связь с реальным миром
5 См. также
6 Ссылки
7 Литература

[править] Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$\textstyle y^2=2px$ (или $\textstyle x^2=2py$ , если поменять местами оси).

Вывод

Уравнение директрисы $P Q$ : $\textstyle x+\frac{p}{2}=0$ , фокус — $\textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right )$ , таким образом начало координат $O$ — середина отрезка $C F$ . По определению параболы для любой точки $M$ , лежащей на ней выполняется равенство $K M = F M$ . $\textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+x$ и $\textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ , тогда равенство приобретает вид:

$\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x$ .

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение $y 2 = 2 p x$ .

Квадратное уравнение $y = a x 2 + b x + c$ при $a\neq 0$ также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и $y = a x 2$ , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке $A$ , координаты которой вычисляются по формулам:

$x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Уравнение $y = a x 2 + b x + c$ может быть представлено в виде $y = a (x - x A) 2 + y A$ , а в случае переноса начала координат в точку $A$ каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим.

[править] Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения $y = a x 2 + b x + c$ известны координаты 3-х различных точек его графика $(x 1; y 1)$ , $(x 2; y 2)$ , $(x 3; y 3)$ , то его коэффициенты могут быть найдены так:

$a=\frac{y_{3}-\frac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}$

[править] Свойства

Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

[править] Построение

Построение параболы

Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы.

[править] Связь с реальным миром

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого либо объекта (мяча, артиллерийского снаряда) соответствует параболе.

При вращении тонкого прямоугольного сосуда с жидкостью вокруг его горизонтального центра поверхность жидкости в сосуде принимает форму параболы.

Свойство параболы о фокусировании параллельного пучка прямых используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, а так же телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)	Падение баскетбольного мяча	Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США	Библиотека с крышей в форме параболы в норвежском городе Тромсё
Вращающийся сосуд с жидкостью

[править] См. также

[править] Ссылки

Статья в справочнике «Прикладная математика».
Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
Информация (англ.) о связи параболы с физикой.

[править] Литература

Бронштейн И., Парабола, Квант, № 4, 1975.
Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982 г.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год.

п·о·р Кривые
Плоские кривые
Алгебраические
Конические сечения (2-й порядок)	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
Эллиптические (3-й порядок)	Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции
Лемнискаты (2n порядок)	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные кривые	Сплайны (B-сплайн · Кубический сплайн · Моносплайн · Сплайн Эрмита) • Кривая Безье
Другие (в скобках указан порядок)	Верзьера Аньези (3) • Декартов лист (3) • Полукубическая парабола (3) • Строфоида (3) • Циссоида Диокла (3)
Трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные (порождённые катящейся окружностью)	Циклоида • Эпициклоида (Кардиоида · Нефроида) • Гипоциклоида (Дельтоида (кривая Штейнера) · Астроида) • Трохоида (Удлинённая циклоида · Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая эпициклоида · Укороченная эпициклоида · Улитка Паскаля · «Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Фрактальные	Кривая Коха • Кривая Леви • Кривая Минковского • Кривая Пеано • Топологически: салфетка и ковёр Серпинского, губка Менгера
Другие	Квадратриса • Кривая погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Кривая Безье • Кривая постоянной ширины • Синусоида
Неплоские кривые
Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Связанные понятия
Определения кривой	Аналитическая кривая • Кривая Жордана • Канторова кривая • Кривая Урысона
Преобразованные кривые	Эволюта • Эвольвента • Каустика

п·о·р Конические сечения
Главные типы	Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные	Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение • Шары Данделена
Математика • Геометрия

Парабола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Уравнения

[править] Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

[править] Свойства

[править] Построение

[править] Связь с реальным миром

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках