Парабола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Парабола, её фокус и директриса
Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение: Парабола как коническое сечение
Эксцентриситет: ~\textstyle e=1
Уравнение: ~\textstyle y^2=2px
гипербола  · парабола  · эллипс  · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой
Построение параболы как конического сечения

Уравнения[править | править исходный текст]

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

~\textstyle y^2=2px, p>0 (или ~\textstyle x^2=2py, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии \frac{p}{2} от обоих.

Квадратное уравнение ~y=ax^2+bx+c при ~a\neq 0 также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и ~y=ax^2, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке ~A, координаты которой вычисляются по формулам:

~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a}, где  D=b^2-4ac — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ~y=ax^2+bx+c может быть представлено в виде ~y=a(x-x_A)^2+y_A, а в случае переноса начала координат в точку ~A каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом p=\frac{1}{|2a|}.

Расчёт коэффициентов квадратного уравнения[править | править исходный текст]

сли для уравнения ~y = ax^2 + bx + c известны координаты 3-х различных точек его графика ~(x_{1}; y_{1}), ~(x_{2}; y_{2}), ~(x_{3}; y_{3}), то его коэффициенты могут быть найдены так:

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ 
b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ 
c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}

Свойства[править | править исходный текст]

Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)
Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)
  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Параболы в физическом пространстве[править | править исходный текст]

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «парабола»