Параболическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Визуализация решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности)

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции  u : R^n \rightarrow R :

 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}  \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть:  a_{ij} = a_{ji} . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n),

где A = A^T.
Матрица A называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна (n-1, 0), то есть матрица A имеет одно собственное значение равное нулю и n-1 собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

 Lu + a \frac{\partial u}{\partial t} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) ,

где: Lэллиптический оператор, a \neq 0.

Решение параболических уравнений[править | править вики-текст]

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

Принцип максимума[править | править вики-текст]

Для параболического уравнения вида:

-a^2\Delta u + \partial_t u = 0 \ (x_1,\ldots\,x_{n-1}) \in \Omega

Решение u(x_1, \ldots, x_{n-1}, t) принимает своё максимальное значение либо при t=0, либо на границе области \Omega.

Примеры параболических уравнений[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов Дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. — ISBN 5-7038-1270-4
  3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9