Парадокс Рассела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс Рассела (иногда парадокс Рассела-Цермело) — открытый в 1901 году[1] Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.

Основные сведения[править | править вики-текст]

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь Kмножество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого[2] понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации \mathcal M, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

Действительно, допустим, что множество U всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество K, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества K приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории \mathcal M, утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.

Варианты формулировок[править | править вики-текст]

Существует много формулировок этого парадокса. Здесь приведены часто встречающиеся:

  • Наиболее ранняя из формулировок, приписываемая софистам, называется Парадокс лжеца: «Критянин сказал, что все критяне лжецы. Сказал ли он правду?»
  • Парадокс брадобрея: Единственному деревенскому брадобрею приказали: «Брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Кто побреет брадобрея?
  • В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?
  • Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
  • Парадокс всемогущества: может ли всемогущее существо сделать что-либо, что ограничило бы его способность выполнять действия?

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Godehard Link (2004), «One hundred years of Russell's paradox», с. 350, ISBN 9783110174380, <http://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350> 
  2. Френкель А.А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств / А.А. Френкель, И. Бар-Хиллел. – М.: Мир, 1966. – C. 17-18