Парадокс Скулема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств.

В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Скулема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Скулема имеет большую дидактическую ценность.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она, в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Скулема, имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть, всего лишь счётное множество объектов M (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката x \in y для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее аксиомам этой теории (например, ZF или ZFC — в предположении их непротиворечивости, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели y лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение \ldots\in y. Фиксируем такую модель \mathfrak M со счётным M в качестве предметной области.

В силу теорем ZF, вне зависимости от принятой модели в ZF выводимо, например, существование терма \mathcal P (\omega), мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более чем счётно — противоречие?

Разрешение[править | править вики-текст]

Проведём рассуждение аккуратно. Факт \mathrm{ZF}\vdash\exists x (x=\mathcal P(\omega)) означает, что существует такой объект c\in M, что формула первого порядка, соответствующая выражению x=\mathcal P(\omega), истинна в модели \mathfrak M на оценке, при которой индивидной переменной x поставлен в соответствие объект c. Теорема Кантора утверждает, что x — несчётно, что по определению значит

\mathrm{ZF}\vdash\neg\exists f(f — биекция между \mathcal P(\omega) и \omega)\and\exists f(f — биекция между \omega и \omega\cup{\omega}),

где «f — биекция между A и B» означает \forall x\forall y(<x,\;y>\in f\Leftrightarrow(x\in A\and y\in B)), где <x,\;y> — любое кодирование пар, например, <x,\;y>=\{x,\;y,\;\{x\}\}.

Но это значит лишь то, что среди элементов M нет такого f, что в модели \mathfrak M оно удовлетворяло бы свойствам биекции между \mathcal P(\omega) и \omega. При этом не важно, что в отношение принадлежности с объектом из M, соответствующим терму \mathcal P(\omega) может входить не более чем счётное число объектов из M — важно то, что среди объектов M не существует f, осуществляющего необходимую биекцию.

Рассуждение «если модель счётна, то в отношение \in с любым объектом может входить не более чем счётное число объектов» есть рассуждение внешнее по отношению к изучаемой аксиоматической теории и никакой формуле в этой теории не соответствует. С внешней точки зрения на теорию ZF «множество всех множеств» (второй раз слово «множество» здесь обозначает лишь некоторый объект предметной области ZF) может существовать и даже быть счётным, что никак не связано (и потому не может противоречить) с выводимыми в ZF формулами.

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
  • Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.