Парадокс Смейла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Парадокс Смейла. Одна из промежуточных конфигураций, Поверхность Морина (англ.)

Парадокс Смейла — утверждение в дифференциальной топологии, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.

Парадокс Смейла — это вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма контринтуитивная. Более точно:

Пусть f\colon S^2\to\R^3 есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений f_t\colon S^2\to\R^3,\ \ t\in [0,1], такое, что f_0=f и f_1=-f.


Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов.[1] С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.

История[править | править вики-текст]

Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году. Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у f и у -f в {\mathbb R}^3 обе равны 1. Более того, степень любого вложения S^2\to {\mathbb R}^3 равна 1.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Выворачивание сферы можно осуществить также в классе C^1-гладких изометрических погружений.[2]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Видео выворачивания сферы на русском языке: [1]
  2. Громов, М. Дифференциальные соотношения в частных производных.