Парадокс Смейла

Парадокс Смейла. Одна из промежуточных конфигураций, Поверхность Морина (англ.)

Парадокс Смейла — утверждение в дифференциальной топологии, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.

Парадокс Смейла — это вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма контринтуитивная. Более точно:

Пусть $f\colon S^2\to\R^3$ есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $f_t\colon S^2\to\R^3,\ \ t\in [0,1]$, такое, что $f_0=f$ и $f_1=-f$.

Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов. С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.

История

Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году. Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у $f$ и у $-f$ в ${\mathbb R}^3$ оба равны 1. Более того, степень любого вложения $S^2\to {\mathbb R}^3$ равна 1.

Вариации и обобщения

• Выворачивание сферы можно осуществить также в классе $C^1$-гладких изометрических погружений.

Литература

• Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
• Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва:Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.