Параллельное перенесение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол \alpha пропорционален площади внутри контура.

Параллельное перенесениеизоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения \eta:E\to B, определяемый некоторой заданной связностью на E. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств T_{\gamma(0)}(M) и T_{\gamma(1)}(M), определяемый вдоль кривой \gamma\in M некоторой заданной на M аффинной связностью.

Параллельное перенесение по аффинной связности[править | править вики-текст]

Пусть на гладком многообразии M задана аффинная связность. Говорят, что вектор X_1\in T_{\gamma(1)}(M) получен параллельным перенесением из вектора X_0\in T_{\gamma(0)}(M) вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой \gamma:[0,1]\to M, если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле X со следующими свойствами:

  • выполняются равенства X(\gamma(0))=X_0 и X(\gamma(1))=X_1;
  • для любого значения t\in [0,1] выполняется равенство \nabla_{\dot\gamma(t)}X=0, где символ \nabla обозначает ковариантную производную, а \dot\gamma(t) есть вектор скорости \gamma.

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

(\nabla_{\dot\gamma}X)^i = \frac{d}{dt}X^i + \Gamma^i_{jk}X^j\dot\gamma^k,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора X, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле X было определено в целой окрестности пути \gamma(t), достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторов[править | править вики-текст]

  • Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
  • При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
  • Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
  • Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой \gamma представляет собой линейный изоморфизм пространств T_{\gamma(0)}(M) и T_{\gamma(1)}(M).
  • Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивита), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
  • Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
  • Группа голономии — группа \Phi_x автоморфизмов касательного пространства T_xM, определяемая параллельными переносом вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия \Phi_x и \Phi_y всегда сопряжены между собой.

История[править | править вики-текст]

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в \R^3 с помощью введенного им понятия развертывания кривой \gamma\in S на плоскость \R^2. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0