Параллельность

Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по-разному в различных разделах геометрии.

В евклидовой геометрии

Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (Иногда совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь^[где?] такое определение не рассматривается).

Свойства

1. Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, они образуют пучок прямых, ограниченный двумя крайними).
3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
   1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
   2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны.
      2. Соответственные углы равны.
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку $C$ вне данной прямой $AB$ проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих $AB$. Прямая $CE$ называется равнобежной прямой $AB$ в направлении от $A$ к $B$, если:

1. точки $B$ и $E$ лежат по одну сторону от прямой $AC$;
2. прямая $CE$ не пересекает прямую $AB$, но всякий луч, проходящий внутри угла $ACE$, пересекает луч $AB$.

Аналогично определяется прямая, равнобежная $AB$ в направлении от $B$ к $A$.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

См. также

• Параллельность плоскостей
• Скрещивающиеся прямые
• Перпендикулярность
• Ортогональность

Ссылки

• Антипараллельные линии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.