Пара Вифериха

Пара Вифериха — пара простых чисел $p$ и $q$, для которых выполнено:

$p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}}$,

$q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$.

Наименование дано в честь германского математика Артура Вифериха (нем. Arthur Wieferich). Играют важную роль в доказательстве Преды Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu) гипотезы Каталана (2002).

Известно только семь пар Вифериха:

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917), и (2903, 18787)

Простое число Вифериха $p\equiv 1{\pmod {4}}$ образует пару Вифериха $(p,2)$.

Литература

• Yuri Bilu. Catalan's conjecture (after Mihăilescu) (неопр.) // Astérisque. — 2004. — Т. 294. — С. vii, 1—26.
• R. Ernvall; T. Metsänkylä. On the p-divisibility of Fermat quotients (неопр.) // Math. Comp.. — 1997. — Т. 66, № 219. — С. 1353—1365. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00843-0.
• Ray Steiner. Class number bounds and Catalan's equation (англ.) // Math. Comp. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 213. — P. 1317—1322. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00966-1.