Первая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхностиквадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть поверхность задана уравнением

r = r (u, v),

где u и v ― внутренние координаты на поверхности;

dr= r_u du + r_v dv

― дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления смещения из точки M в бесконечно близкую точку M'. Квадрат главной липшицевой части приращения длины |MM'| выражается квадратом дифференциала dr:

dr^2=r_u^2du^2+2\langle r_ur_v\rangle du dv + r_v^2dv^2

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

E =|r_u|^2, F = \langle r_u, r_v\rangle, G=|r_v|^2.

или в тензорных символах

dr^2 = g_{1,1}du^2+2g_{1,2} du dv+g_{2,2}dv^2.

Тензор g_{i,j} называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:
EG - F^2 > 0.

См. также[править | править вики-текст]