Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение

Пусть поверхность задана уравнением

$r = r (u, v),$

где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности;

$dr= r_u du + r_v dv$

― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M'$. Квадрат главной липшицевой части приращения длины $|MM'|$ выражается квадратом дифференциала $dr$:

$dr^2=r_u^2du^2+2\langle r_ur_v\rangle du dv + r_v^2dv^2$

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

$E =|r_u|^2, F = \langle r_u, r_v\rangle, G=|r_v|^2.$

или в тензорных символах

$dr^2 = g_{1,1}du^2+2g_{1,2} du dv+g_{2,2}dv^2.$

Тензор $g_{i,j}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

$EG - F^2 > 0.$

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Метрический тензор