Первообразная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математическом анализе первообра́зной (первоо́бразной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x³ / 3 является первообразной f(x) = x². Так как производная константы равна нулю, x² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x³ / 3 + 45645 или x³ / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = x³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Содержание 1 Свойства первообразной 2 Техника интегрирования 3 Другие определения 4 Ссылки 5 См. также

[править] Свойства первообразной

• Первообразная суммы равна сумме первообразных
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке
• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

[править] Техника интегрирования

Основная статья: Методы интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша (Risch algorithm),
• некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
• вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
• если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

[править] Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной F' и выполнения всюду равенства F'(x) = f(x), иногда в определении используют обобщения производной.

[править] Ссылки

• Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов

[править] См. также

• Таблица первообразных