Первообразная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первообрáзной[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F' = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция ~F(x) = \frac{x^3}{3} является первообразной ~f(x) = x^2. Так как производная константы равна нулю, ~x^2 будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как ~x^3/3+45645 или ~x^3/3-36 и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x^2 можно обозначить как F(x) = x^3/3+C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

\int f(x)\, dx

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.

Более развёрнутое изложение этих фактов см. в дифференциальной теории Галуа.

Таблица первообразных[править | править вики-текст]

Свойства первообразной[править | править вики-текст]

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке
  • Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования[править | править вики-текст]

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

Другие определения[править | править вики-текст]

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной F' и выполнения всюду равенства F'(x)=f(x), иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел n-ой производной[источник не указан 198 дней][править | править вики-текст]

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если будет существовать предел для функции f^{(n)}(x), являющейся производной n-го порядка для функции f(x), то есть

F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right).

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

F'(x) = (\lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right))' = \lim_{n \to -1} f^{(n+1)} \left( x \right) = f^{(0)}(x) = f(x).

Пример 1. Вычислим первообразную для функции f(x)=x^m.

И так,

f'(x)=mx^{m-1}, f''(x)=m(m-1)x^{m-2}, f'''(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3}, ..., f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))x^{m-n} при условии, что m \geqslant n.

Поскольку

m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))=\frac{m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}{(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}=\frac{m!}{(m-n)!}.

Получаем

F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}=\frac{x^{m+1}}{m+1}.

Пример 2. Вычислим первообразную для функции f(x)=\sin x.

f'(x)=\cos x = \sin(x+1\cdot \frac{\pi}{2}),
f''(x)= -\sin x = \sin(x+2\cdot \frac{\pi}{2}),
f'''(x)= -\cos x = \sin(x+3\cdot \frac{\pi}{2}),
f^{IV}(x)= \sin x = \sin(x+4\cdot \frac{\pi}{2}),
...
f^{(n)}(x) = \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}).
F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(x-\frac{\pi}{2}) = -\cos x.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]