Первообразный корень (теория чисел)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первообразный корень по модулю mцелое число g такое, что

g^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m

и

g^{\ell} \not\equiv 1 \pmod m при 1\le\ell < \varphi(m),

где \varphi(m)функция Эйлера. Другими словами, первообразный корень — это образующий элемент мультипликативной группы кольца вычетов по модулю m.

Свойства[править | править исходный текст]

Существование[править | править исходный текст]

Первообразные корни существуют только по модулям m вида

m = 2, 4, pa, 2pa,

где p > 2 ― простое число. Только в этих случаях мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m является циклической группой порядка φ(m).

Индекс числа по модулю[править | править исходный текст]

Для первообразного корня g его степени g0=1, g, …, gφ(m)-1 несравнимы между собой по модулю m и образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Поэтому для каждого числа a, взаимно простого с m, найдется показатель ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ(m)-1, такой, что

g^{\ell} \equiv a \pmod m.

Такое число ℓ называется индексом числа a по основанию g.

Количество[править | править исходный текст]

Если по модулю m существует первообразный корень g, то всего существует φ(φ(m)) различных первообразных корней по модулю m, причём все их можно получить как gk, где 1 ⩽ k ⩽ φ(m)-1 и k взаимно просто с φ(m).

История[править | править исходный текст]

Первообразные корни для простых модулей p были введены Эйлером, но существование первообразных корней для любых простых модулей p было доказано лишь Гауссом в 1801 году.

Примеры[править | править исходный текст]

Число 3 является первообразным корнем по модулю 7. Чтобы в этом убедиться, достаточно каждое число от 1 до 6 представить как некоторую степень тройки по модулю 7:

3^0 \equiv 1\ \pmod 7
3^1 \equiv 3\ \pmod 7
3^2 \equiv 2\ \pmod 7
3^3 \equiv 6\ \pmod 7
3^4 \equiv 4\ \pmod 7
3^5 \equiv 5\ \pmod 7

Примеры наименьших первообразных корней по модулю m (последовательность A046145 в OEIS):

Модуль m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Первообразный корень 1 2 3 2 5 3 2 3 2 2 3

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]