Перемешивание (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру \mu — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно \mu меры (например, ограничения \mu на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере \mu.

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

Определения[править | править вики-текст]

Топологическое перемешивание[править | править вики-текст]

По определению, (непрерывная) динамическая система f:X\to X называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств A,B\subset X выполнено


\exists N: \quad \forall n\ge N \quad f^n(A)\cap B \neq\emptyset,

или, что то же самое,


\exists N: \quad \forall n\ge N \quad A\cap f^{-n}(B) \neq\emptyset,

Это, в частности, означает, что для любых заданных \varepsilon>0 и непустого открытого множества A все итерации A с достаточно большим номером оказываются \varepsilon-плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешивание[править | править вики-текст]

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение f:(X,\mathcal{A},\mu)\to (X,\mathcal{A},\mu) называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств A,B\in \mathcal{A} выполнено


\mu(f^{-n}(A) \cap B)\to \mu(A)\mu(B), \quad n\to\infty.

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций \varphi,\psi \in L_2(X,\mu) выполнено


\int_X \varphi(f^n(x)) \psi(x) \, d\mu(x) \to \int_X \varphi \, d\mu \cdot \int_X \psi \, d\mu.

Эргодичность меры \mu является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
  • Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9