Пифагорова тройка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике пифагоровой тройкой называется упорядоченный конечный набор из трёх натуральных чисел (x,\;y,\;z), удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

x^2 + y^2 = z^2. \,

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты значительно раньше.

Примитивные тройки[править | править вики-текст]

Поскольку уравнение  x^2 + y^2 = z^2  \, однородно, при умножении x \,, y \, и z \, на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) \, называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,\;y,\;z являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель (x,y,z) \, равен 1[1].

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) \, числа x и y имеют разную чётность[1], причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) \,, где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде (m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2) для некоторых натуральных взаимно простых чисел m > n \, разной чётности[1].

Эти числа можно вычислить по формулам:

\begin{cases} m=\sqrt{\frac{z+x}2}=\frac{\sqrt{z+y}+\sqrt{z-y}}2\\ n=\sqrt{\frac{z-x}2}=\frac{\sqrt{z+y}-\sqrt{z-y}}2\end{cases}

Наоборот, любая такая пара чисел (m,\;n) задаёт примитивную пифагорову тройку (m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2).[2]

Свойства[править | править вики-текст]

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами  3, 4 , 5 \,\, (3^2 + 4^2 = 5^2).\,

Всякая пифагорова тройка (a,\;b,\;c) задаёт точку с рациональными координатами \left( \frac a c,\;\frac b c \right) на единичной окружности x^2+y^2=1.\,

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.[3]

Пифагоровы тройки образуют группу по сложению.

Чем больше примитивная пифагорова тройка, тем больше треугольник с их длинами приближается к равнобедренному. Отсюда следует, что бесконечно большая примитивная пифагорова тройка является сторонами бесконечно большого равнобедренного треугольника.

Примеры[править | править вики-текст]

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

Любую тройку можно получить из примитивной умножением каждого её члена на натуральное число. Например, очевидно, что тройка (14, 48, 50) получена умножением на 2 примитивной тройки (7, 24, 25). Все треугольники, полученные таким образом из примитивной тройки, являются подобными, так как углы между гипотенузой и катетами остаются неизменными.

Возможные значения z в пифагоровых тройках образуют последовательность:

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, … (последовательность A009003 в OEIS)

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

x=F_n F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2}; \quad z=F_{n+1}^2+F^2_{n+2}.

История[править | править вики-текст]

Пифагоровы тройки известны очень давно. Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5)[4].

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Горин, 2008, с. 105
  2. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
  3. Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Боро и др., 1985

Литература[править | править вики-текст]