Планковская длина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Планковская длина (обозначаемая \ell_P \ ) — фундаментальная единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

 \ell_P =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \cong 
1{,}616252(81)\times 10^{-35} м,

где:

Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов[1] [2].

Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (1,3·1026 м или 13 миллиардов световых лет) равен 4,6·1061 планковских длин.

С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.

Простой анализ размерностей показывает, что измерение положения физических объектов с точностью до планковской длины проблематично. Действительно, проведём следующий мысленный эксперимент. Допустим, мы хотим определить положение объекта и посылаем на него поток электромагнитного излучения, то есть фотоны. Чем больше энергия фотонов, тем короче их длина волны и тем более точным будет измерение. Если бы фотон имел энергию, достаточную для измерения объектов размером с планковскую длину, он бы сколлапсировал в микроскопическую чёрную дыру и провести измерение было бы невозможно, таким образом, планковская длина накладывает фундаментальные ограничения на точность измерения длины[3].

Этот мысленный эксперимент использует как общую теорию относительности, так и принцип неопределённости квантовой механики. Обе теории предсказывают, что невозможно измерение с точностью, которая превосходит планковскую длину. Таким образом, в любой теории квантовой гравитации, комбинирующей общую теорию относительности и квантовую механику, традиционное представление о пространстве и времени неприменимо на расстояниях меньше планковской длины или для промежутков времени меньше чем планковское время.

Согласно теории струн, дополнительные 6 (или 7) измерений свёрнуты до размеров планковской длины и поэтому экспериментально не могут быть обнаружены.

Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда[править | править исходный текст]

Частица массой m имеет приведённую комптоновскую длину волны

\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}

С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

r_g = \frac{2Gm}{c^2}

Произведение этих величин всегда постоянно и равно

r_g \overline{\lambda}_{C} = \frac{2G\hbar}{c^3} = 2\ell_P^2

Или

 \ell_P =\sqrt{\frac{r_g \overline{\lambda}_{C}}{2}}

Поэтому физический смысл планковской длины можно определить так. Это квадратный корень из половины произведения приведённой комптоновской длины волны любой частицы на радиус Шварцшильда той же частицы.

Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шваршильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

\Delta r_g \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{G\hbar}{c^3} = \ell_P^2

что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

\Delta \left(\frac{2Gm}{c^2}\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{G\hbar}{c^3}

Сокращая одинаковые символы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

\Delta \left(mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{\hbar}{2}

Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и комптоновской длиной волны частицы является частным случаем общего соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе

\Delta R_{\mu}\Delta x_{\mu}\ge\ell^2_{P}

где R_{\mu} - компонента радиуса кривизны малой области пространства-времени; x_{\mu} - координата малой области.

Отсюда следует, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера[6]. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет только к увеличению радиуса Шваршильда черной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры[7].

Примечания[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]