Плоская волна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Фронты плоской волны в трёхмерном пространстве и вектор фазовой скорости.

Плоская волна — волна, фронт которой имеет форму плоскости.

Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту. Плоская волна является частным решением волнового уравнения и удобной абстрактной моделью: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в -\mathcal{1} и заканчивается в +\mathcal{1}, чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоска волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия. Волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде спектра плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.

Квазиплоская волна - волна, фронт которой близок к плоскому в ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для рассматривамой задачи, то квазиплоскую волну можно приближённо считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать набором локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей который нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер, зеркальная и линзовая антенны: распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.

Определение[править | править вики-текст]

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Волновое уравнение для функции A записывается в виде

 \Delta A(\vec{r},t) = \frac {1} {v^2} \, \frac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} \,
где

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Wave Sinusoidal Cosine wave sine Blue.svg
AC wave Positive direction.gif
Анимация движения плоской волны.

Плоская гармоническая волна задаётся уравнением

 A(x,t) = A_o \cos \left( k x - \omega t + \varphi_0 \right) \,
где

Волну можно описать одним из уравнений

  •  A = A_o \cos \left( 2 \pi \left( \cfrac {x} {\lambda} - \cfrac {t} {T} \right) + \varphi_0 \right) \,
где
  •  A = A_o \cos \left( 2 \pi \left( \cfrac {x} {\lambda} - ft \right) + \varphi_0 \right) \,
где
  •  A = A_o \cos \left( \cfrac {2\pi} {\lambda} (x - vt) + \varphi_0 \right) \,
где

Многомерный случай[править | править вики-текст]

В общем случае уравнения плоской волны записывается в виде

 A ( \vec{r}, t ) = A_o \cos \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t + \varphi_0 \right) \,
где
где

Комплексная форма записи[править | править вики-текст]

Приведённые выше уравнения можно записать в так называемом комплексном виде:

 A( x,t ) = A_o \, e^{ i \left( k x - \omega t +\varphi_0 \right) }.

или в многомерном случае

 A( \vec{r},t ) = A_o \, e^{ i \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t +\varphi_0 \right) }.

Правильность этой формулы легко проверить, применив формулу Эйлера. Вообще говоря, функция A( \vec{r},t ) может быть как вещественной, так и комплексной функцией. Но так как в нашем реальном мире не существует комплексных чисел, то для расчётов всегда берётся реальная часть функции.

Стоит отметить, что из комплексной записи гармонической функции следует понятие комплексной амплитуды, равной  \widehat{A} = A_o e^{i \varphi_0}.

Тогда  A( x,t ) = \widehat{A} \, e^{ i \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t \right) }.

Модуль комплексной функции даёт амплитуду колебаний, а аргумент — начальную фазу  \varphi_0.

Экспоненциальная форма записи в некоторых случаях бывает удобнее тригонометрической.

Скорость волны[править | править вики-текст]

Энергия упругой плоской волны[править | править вики-текст]

Пусть дано, что  A(x,t) = A_o \cos \left( \omega t - k x + \varphi_0 \right).

Выделим в пространстве некий малый объём  \Delta V , настолько малый, что во всех точках этого объёма скорость движения частиц  \cfrac {\partial A} {\partial t} и деформацию \cfrac {\partial A} {\partial x} можно считать постоянными.

Тогда данный объёмчик обладает кинетической энергией

 \Delta W_k = \cfrac {\rho} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 \Delta V

и потенциальной энергией упругой деформации

 \Delta W_p = \cfrac {E} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V = \cfrac {\rho v^2} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V .

Полная энергия это

 W = \Delta W_k + \Delta W_p = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left( \cfrac{\partial A}{\partial {x}} \right)^2 \bigg] \Delta V .

Плотность энергии, соответственно, равна

 \omega = \cfrac {W} {\Delta V} = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left( \cfrac {\partial A} {\partial {x}} \right)^2 \bigg] = \rho A^2 \omega^2 \sin^2 \left( \omega t - k x + \varphi_0 \right) .

Поляризация[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Савельев И.В. [Часть 2. Волны. Упругие волны.] // Курс общей физики / Под редакцией Гладнева Л.И., Михалина Н.А., Миртова Д.А.. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 2. — С. 274-315. — 496 с. — 220 000 экз.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Сферическая волна