Плоскость (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Плоскость (математика)»)
Перейти к: навигация, поиск
Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Пло́скость — это поверхность, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей из себя прямую (начертательная геометрия). Также плоскость может быть рассмотрена, как сфера с радиусом, равным бесконечности.

Некоторые характеристические свойства плоскости[править | править исходный текст]

  • Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
  • Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
  • Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2

Уравнения плоскости[править | править исходный текст]

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (18161818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

где ~A,B,C и ~D — постоянные, причём ~A,B и ~C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

где \mathbf{r} — радиус-вектор точки ~M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При ~D=0 плоскость проходит через начало координат, при ~A=0 (или ~B=0, ~C=0) П. параллельна оси ~Ox (соответственно ~Oy или ~Oz). При ~A=B=0 (~A=C=0, или ~B=C=0) плоскость параллельна плоскости ~Oxy (соответственно ~Oxz или ~Oyz).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

где ~a=-D/A, ~b=-D/B, ~c=-D/C — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ~Ox, Oy и ~Oz.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку ~M(x_0,y_0,z_0) перпендикулярно вектору нормали \mathbf{N}(A,B,C):
~A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;

в векторной форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ~M(x_i,y_i,z_i), не лежащие на одной прямой:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)

в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,

где \mathbf{N^0}- единичный вектор, ~p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки ~\mu и ~D противоположны).

Определение по точке и вектору нормали[править | править исходный текст]

В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, r_0 является радиусом-вектором точки P_0, заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка P с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от P_0 к P, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

\bold n\cdot (\bold r-\bold r_0)=0. (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

 n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,\,

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости P(2,6,-3) и вектор нормали N(9,5,2).

Уравнение плоскости записывается так:

9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0

-18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0

9x + 5y + 2z - 42 = 0

Расстояние от точки до плоскости[править | править исходный текст]

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки ~M_1(x_1,y_1,z_1) от плоскости заданной нормированным уравнением ~(2)
~\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;
~\delta>0,если ~M_1 и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае ~\delta<0. Расстояние от точки до плоскости равно ~|\delta|.
  • Расстояние ~\rho от точки ~M_0(x_0, y_0, z_0), до плоскости, заданной уравнением ~ax+by+cz+d=0, вычисляется по формуле:
\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Расстояние между параллельными плоскостями[править | править исходный текст]

  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ~Ax+By+Cz+D_1=0 и ~Ax+By+Cz+D_2=0:
d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями \bar n (\bar r - \bar{r_1})=0 и \bar n (\bar r - \bar{r_2})=0:
d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия[править | править исходный текст]

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Если в векторной форме, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} или [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0. (Векторное произведение)
  • Плоскости перпендикулярны, если
~A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 или (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0. (Скалярное произведение)
  • Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[1]:222:
~\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,
где \alpha и \beta — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
  • Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[1]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
~\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,
где \alpha, \beta и \gamma — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

m-плоскость в пространстве R^n[править | править исходный текст]

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство K^n(V,P), над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}. m-плоскостью называется множество точек \alpha, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению  \alpha = \{x| x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}. A_{nm} - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, \vec{t} - вектор переменных, \vec{d} - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
 x = \vec{a_1}t_1 + ... + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V - векторное уравнение m-плоскости.
Вектора \vec{a_i} образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости \alpha, \beta называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и  \exists x \in \alpha : x \notin \beta .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть \vec{n} - нормальный вектор плоскости,  \vec{r} = (x^1,...,x^n) - вектор переменных, \vec{r_0} - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
 (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 - общее уравнение плоскости.
Имя матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так:  det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0, или:
\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 .
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примеры m-плоскостей[править | править исходный текст]

  1. Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид:  \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
  2. Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Литература[править | править исходный текст]

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Ссылки[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «плоскость»