Плотное множество
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.
Содержание |
[править] Определения
- Пусть даны топологическое пространство
и два подмножества 
Тогда множество A называется плотным во множестве B, если любая окрестность любой точки B содержит хотя бы одну точку из A, то есть
- Множество A называется всюду плотным, если оно плотно в X.
[править] Замечание
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
- Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда замыкание A содержит B, то есть
В частности, A всюду плотно, если 
. - Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к A не пересекается с B, то есть
. В частности, A всюду плотно, если 
.
[править] Примеры
- Любое множество плотно в себе.
- Множество рациональных чисел
плотно в пространстве вещественных чисел 
.
