Плотность вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве \mathbb{R}^n. В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности[править | править вики-текст]

Пусть \mathbb{P} является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n, то есть определено вероятностное пространство \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right), где \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) обозначает борелевскую σ-алгебру на \mathbb{R}^n. Пусть m обозначает меру Лебега на \mathbb{R}^n.

Определение 1. Вероятность \mathbb{P} называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (\mathbb{P} \ll m), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Rightarrow ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Если вероятность \mathbb{P} абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty) такая, что

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx,

где использовано общепринятое сокращение m(dx) \equiv dx, и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть (X, \mathcal F) — произвольное измеримое пространство, а \mu и \nu — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная f, позволяющая выразить меру \nu через меру \mu в виде

\nu(A) = \int_A f d\mu,

то такую функцию называют плотностью меры \nu по мере \mu, или производной Радона-Никодима меры \nu относительно меры \mu, и обозначают

f=\frac{d\nu}{d\mu}.

Свойства плотности вероятности[править | править вики-текст]

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если f является плотностью вероятности \mathbb{P} и f(x) = g(x) почти всюду относительно меры Лебега, то и функция g также является плотностью вероятности \mathbb{P}.
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1.

Обратно, если f(x) — неотрицательная п.в. функция, такая что \int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера \mathbb{P} на \mathbb{R}^n такая, что f(x) является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f(x)\, dx,

где \varphi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры \mathbb{P}.

Плотность случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть определено произвольное вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и X\colon\Omega \to \mathbb{R}^n случайная величина (или случайный вектор). X индуцирует вероятностную меру \mathbb{P}^X на \left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right), называемую распределением случайной величины X.

Определение 3. Если распределение \mathbb{P}^X абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx} называется плотностью случайной величины X. Сама случайная величина X называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины X непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\infty}^{x_n} \!\! \ldots \!\! \int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx'_n.

В одномерном случае:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'.

Если f_X \in C(\mathbb{R}^n), то F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n), и

\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n).

В одномерном случае:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x).
\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx,

где g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} — борелевская функция, так что \mathbb{E}[g(X)] определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть X\colon\Omega \to \mathbb{R}^n — абсолютно непрерывная случайная величина, и g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n, где J_g(x)якобиан функции g в точке x. Тогда случайная величина Y = g(X) также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert.

В одномерном случае:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert.

Примеры абсолютно непрерывных распределений[править | править вики-текст]


См. также[править | править вики-текст]