Плотность последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плотность последовательности ― понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения целочисленных последовательностей общего вида. Плотность последовательности является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности A=\{a_i\} целых неотрицательных чисел 0=a_0<a_1<a_2<\dots. Под понятием плотности последовательности имеется в виду плотность d(A), введённая в 1930 Шнирельманом (отсюда англ. название термина — Schnirelmann density) последовательности А, а именно:

d(A)=\inf_{n\in \Z_+}(\pi_A(n)-1)/n

где \pi_A(n) — количество членов последовательности A, не превосходящих n.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Пусть A+Bарифметическая сумма последовательностей A=\{a_i\} и B=\{b_i\}, т. е. множество A+B=\{c\in\Z_+|c=a+b, a\in A, b\in B\}.

Если A=B полагают 2A=A+A, аналогично 3A=2A+A и т. д.

Если nA=\Z_+, то A называется базисом n-того порядка.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Плотность d(A) = 1 тогда и только тогда, когда A совпадает с множеством \Z_+ всех целых неотрицательных чисел.
  • Неравенство Шнирельмана
d(A+B)\ge d(A)+d(B)-d(A)d(B)
  • Неравенство Манна ― Дайсона
d(A+B)\ge \min\{d(A)+d(B),1\}

Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в которых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Например, с помощью методов решета доказывается, что последовательность \{p\}+\{p\}, где p пробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число c_0>0, что любое натуральное число есть сумма не более c_0 простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Разновидностью понятия плотности последовательности является понятие асимптотической плотности, частным случаем которой будет натуральная плотность.

Понятие плотности последовательности обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, например на последовательности целых чисел в полях алгебраических чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраических полях.