Площадь фигуры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пло́щадь фигуры — числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание

1 Об определении
2 Связанные определения
3 Комментарии
4 См. также
5 Ссылки

[править] Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём, можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция определённая на определённом классе фигур Евклидовой плоскости, такая что:

(положительность) площадь неотрицательна;
(нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
(аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon>0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$ , такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(P)-S(Q)<\varepsilon$ , где $S (P)$ обозначает площадь $P$ .

[править] Связанные определения

Две фигуры называются равновеликими если они имеют равную площадь.

[править] Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в Евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в Евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

[править] См. также

[править] Ссылки

В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.