Площадь фигуры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[править | править вики-текст]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F называется квадрируемой, если для любого \varepsilon>0 существует пара многоугольников P и  Q, такие что P\subset F\subset Q и S(Q)-S(P)<\varepsilon, где S(P) обозначает площадь P.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии[править | править вики-текст]

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур[править | править вики-текст]

Формулы для нахождения площадей различных фигур[править | править вики-текст]

Area.svg
Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник \tfrac14\sqrt{3}a^2\,\! a — длина стороны треугольника.
Треугольник \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\,\! Формула Герона.  p  — полупериметр, a, b и c — длины сторон треугольника.
Треугольник \tfrac12 a b \sin(\alpha)\,\! a и b — две стороны треугольника, а \alpha — угол между ними.
Треугольник \tfrac12bh \,\! b и h — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат a^2\,\! a — длина стороны квадрата.
Прямоугольник ab \,\! a и b — длины сторон прямоугольника.
Ромб a^2\sin \alpha, \tfrac12bc a — сторона ромба, \alpha — внутренний угол, b,c — диагонали.
Параллелограмм bh\,\! b — длина одной из сторон параллелограмма, а h — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция \tfrac12(a+b)h \,\! a и b — длины параллельных сторон, а h — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник \tfrac32\sqrt{3}a^2\,\! a — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник 2\left(1+\sqrt{2}\right)a^2\,\! a — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник \frac{na^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! a — длина стороны многоугольника, а n — количество сторон многоугольника.
\tfrac12a p \,\! a — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а p — периметр многоугольника.
Круг \pi r^2 или \frac{\pi d^2}{4} \,\! r — радиус окружности, а d — её диаметр.
Сектор круга \tfrac12 r^2 \theta \,\! r и \theta — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс \pi ab \,\! a и b — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра 2\pi r (r + h)\,\! r и h — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра 2 \pi r h \,\! r и h — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса \pi r (r + l) \,\! r и l — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса \pi r l \,\! r и l — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы 4\pi r^2\ \text{,}\ \pi d^2\,\! r и d — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
     S = \frac{1}{2}ah
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
     S = ab
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD\cdot\sin \beta ,
где \beta — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
    S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:  S = ah
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
    S= \frac{a+b}{2}\cdot h

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]