Плюккеровы координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства M (произвольной размерности) векторного или проективного пространства L. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю \dim M=2 и \dim L=4 для векторных пространств.

Определение в координатах[править | править исходный текст]

Пусть M — m-мерное подпространство n-мерного векторного пространства L. Для определения плюккеровых координат подпространства M выберем произвольный базис e_1,\;\ldots,\;e_n в L и произвольный базис a_1,\;\ldots,\;a_m в M. Каждый вектор a_i имеет в базисе e_1,\;\ldots,\;e_n координаты (a_{i1},\;\ldots,\;a_{in}), то есть a_i=a_{i1}e_1+\ldots+a_{in}e_n. Записывая координаты векторов a_1,\;\ldots,\;a_m в виде строк, получим матрицу

A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix},

ранг которой равен m. Обозначим через M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} минор матрицы A, состоящий из столбцов с номерами i_1,\;\ldots,\;i_m, принимающими значения от 1 до n. Числа M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} не независимы: если набор индексов (i_1,\;\ldots,\;i_m) получен из (j_1,\;\ldots,\;j_m) с помощью перестановки \sigma\in S_m, то имеет место равенство M_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=\pm M_{j_1,\;\ldots,\;j_m}, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка \sigma чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность C_n^m чисел p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=M_{i_1,\;\ldots,\;i_m} для всех упорядоченных наборов индексов i_1<\ldots<i_m, принимающих значения от 1 до n, называется плюккеровыми координатами подпространства M.

Свойства[править | править исходный текст]

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве M выбран другой базис a'_1,\;\ldots,\;a'_m, то новый набор плюккеровых координат p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m} будет иметь вид p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}, где c — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями a'_i=a'_{i1}a_1+\cdots+a'_{im}a_m, и определитель матрицы (a'_{ij}) отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем p'_{i_1,\;\ldots,\;i_m}=c\cdot p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}, где c=\det(a'_{ij}).

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому m-мерному подпространству M набор его плюккеровых координат p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}, мы сопоставляем M некоторую точку проективного пространства P размерности C_n^m-1. Построенное таким образом отображение g инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством P). Образ множества всех m-мерных подпространств n-мерного пространства при отображении g является m(n-m)-мерным проективным алгебраическим многообразием в P, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым G(m,\;n) или \mathrm{Gr}_m(L).

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства P грассманиану G(m,\;n), являются так называемые соотношения Плюккера:

\sum_{r=1}^{m+1}(-1)^r p_{j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}k_r}\cdot p_{k_1,\;\ldots,\;\breve{k_r},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad\forall\,(j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad\forall\,(k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}),

где все индексы в наборах (j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}) и (k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}) принимают значения от 1 до n, знак \breve{} обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности (k_1,\;\ldots,\;k_{m+1}) выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору (j_1,\;\ldots,\;j_{m-1}), потом два получившихся числа p_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m}=M_{\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_m} перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы A, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого m-мерного подпространства M\subset L. И обратно, если однородные координаты p_{i_1,\;\ldots,\;i_m}, i_1<\ldots<i_m, некоторой точки проективного пространства P удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении g соответствует некоторому подпространству M\subset L, то есть принадлежит G(m,\;n).

На языке матриц это означает: если числа p_{i_1,\;\ldots,\;i_m} удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по ее минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример[править | править исходный текст]

В случае \,n=4 и \,m=2 имеем \,C_4^2=6, и следовательно, каждая плоскость \,M в 4-мерном векторном пространстве имеет 6 плюккеровых координат: \,p_{12}, \,p_{13}, \,p_{14}, \,p_{23}, \,p_{24}, \,p_{34}. Выбирая в плоскости \,M базис \,a_1,\;a_2 таким образом, что \,a_1=e_1 и \,a_2=e_2, получаем матрицу

A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \alpha & \beta \\
0 & 1 & \gamma & \delta \\
\end{pmatrix},

откуда находим:

\,p_{12}=1, \,p_{13}=\gamma, \,p_{14}=\delta, \,p_{23}=-\alpha, \,p_{24}=-\beta, \,p_{34}=\alpha\delta-\beta\gamma.

Очевидно, что имеет место соотношение

\,p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0,

сохраняющееся при умножении всех \,p_{i_1i_2} на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику G(2,\;4) в 5-мерном проективном пространстве.

Литература[править | править исходный текст]

  • Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь Плюккеровы координаты названы Грассмановыми).
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.