Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть $~\Phi$ — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на $~\Phi$ задана функция $~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)$. Рассмотрим разбиение $~T$ этой поверхности на части $~\Phi_i \left(i = 1,...,n \right)$ кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку $~M_i \left(x_i, y_i, z_i \right)$. Вычислив значение функции в этой точке $~f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right)$ и, приняв за $~\sigma_i$ — площадь поверхности $~\Phi_i$ рассмотрим сумму $~I\{\Phi_i, M_i\} = \sum_{i} {f \left(M_i \right)\sigma_i}$.

Тогда число $~I$ называется пределом сумм $~I\{\Phi_i, M_i\}$, если:

$~\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \;\; \forall T : d \left(T \right) < \delta \;\; \forall \{M_i\}\;\mid I\{\Phi_i, M_i\} - I \mid < \varepsilon$

Предел $~I$ сумм $~I\{\Phi_i, M_i\}$ при $~d \left(T \right) \to 0$ называется поверхностным интегралом первого рода от функции $~f \left(M \right)$ по поверхности $~\Phi$ и обозначается следующим образом:

$~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma}$

Параметрическая форма

Пусть на поверхности $~\Phi$ можно ввести единую параметризацию посредством функций

$~x = x\left(u, v\right), \;\;\;\; y = y\left(u, v\right), \;\;\;\; z = z\left(u, v\right),$

заданных в ограниченной замкнутой области $~\Omega$ плоскости $~\left(u, v\right)$ и принадлежащих классу $~C^1$ в этой области. Если функция $~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)$ непрерывна на поверхности $~\Phi$, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности $~\Phi$ существует и может быть вычислен по формуле:

$~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma} = \iint \limits_{\Omega} {f \left(x \left( u, v \right), y \left( u, v \right), z \left( u, v \right) \right) \sqrt{EG - F^2} \;du \;dv}$, где:

$~E = \left(x_u'\right)^2 + \left(y_u'\right)^2 + \left(z_u'\right)^2$

$~F = x_u' \; x_v' + y_u' \; y_v' + z_u' \; z_v'$

$~G = \left(x_v'\right)^2 + \left(y_v'\right)^2 + \left(z_v'\right)^2$

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.

1. Линейность: $~\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)d\sigma = \alpha \iint\limits_{\Phi}fd\sigma + \beta \iint\limits_{\Phi}gd\sigma$;
2. Аддитивность: $~\iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma + \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma = \iint\limits_{\Phi_1+\Phi_2}fd\sigma$;
3. Монотонность:
   • если $~f \geqslant g$, то $\iint\limits_{\Phi}fd\sigma \geqslant \iint\limits_{\Phi}gd\sigma$
   • для $~f \ge 0$ если $~\Phi_1 \in \Phi_2$, то $\iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma < \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma$
4. Теорема о среднем для непрерывной функции $~f$ и замкнутой ограниченной поверхности $~\Phi$:

$~\iint\limits_{\Phi}fd\sigma = f(\xi)\iint\limits_{\Phi}d\sigma = f(\xi)\;\mu(\sigma)$.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность $~\Phi$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением $~z = z\left(x, y \right)$ причем точка $~\left(x, y \right)$ изменяется в области $~\left(D \right)$ на плоскости $~x\;y$, ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности $~\Phi$ определена некоторая функция $~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части $~\Phi_i \left(i = 1,...,n \right)$ и выбрав на каждой такой части точку $~M_i \left(x_i, y_i, z_i \right)$ вычисляем значение функции $~f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right)$ в данной точке и умножим его на площадь $~D_i$ проекции на плоскость $~x \;y$ элемента $~\Phi_i$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

$~\sum_{i = 1}^{n} {f \left(M_i \right)D_i} = \sum_{i = 1}^{n} {f \left(x_i, y_i, z_i \right)D_i}$.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

$~f \left(M \right)\;dx\;dy = f\left(x, y, z \right)\;dx\;dy$,

распространенным на выбранную сторону поверхности $~\Phi$, и обозначают символом

$~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)\;dx\;dy} = \iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dx\;dy}$

(здесь $~dx\;dy$) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость $~xy$

Если вместо плоскости $~xy$ спроектировать элементы поверхности на плоскость $~yz$ или $~zx$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

$~\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dy\;dz}$ или $~\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dz\;dx}$.

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

$~\iint \limits_{\Phi} {P\;dy\;dz + Q \;dz\; dx + R \; dx \; dy}$

где $~P, Q, R$ суть функции от $~\left( x, y, z \right)$, определенные в точках поверхности $~\Phi$.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

$~ \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dydz = \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\cos(\nu\hat{\;}i)d\sigma$, где $~\nu$ — единичный вектор нормали поверхности $~\Sigma$, $~i$ — орт.

Свойства

1. Линейность: $~\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)dx\;dy = \alpha \iint\limits_{\Phi}fdx\;dy + \beta \iint\limits_{\Phi}gdx\;dy$;
2. Аддитивность: $~\iint\limits_{\Phi_1}fdx\;dy + \iint\limits_{\Phi_2}fdx\;dy = \iint\limits_{\Phi_1+\Phi_2}fdx\;dy$;
3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Мир математических уравнений