Поверхностные интегралы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Пусть ~\Phi — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на ~\Phi задана функция ~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right). Рассмотрим разбиение ~T этой поверхности на части ~\Phi_i \left(i = 1,...,n \right) кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку ~M_i \left(x_i, y_i, z_i \right). Вычислив значение функции в этой точке ~f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right) и, приняв за ~\sigma_i — площадь поверхности ~\Phi_i рассмотрим сумму ~I\{\Phi_i, M_i\} = \sum_{i} {f \left(M_i \right)\sigma_i}.

Тогда число ~I называется пределом сумм ~I\{\Phi_i, M_i\}, если:

~\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \;\; \forall T : d \left(T \right) < \delta \;\; \forall \{M_i\}\;\mid I\{\Phi_i, M_i\} - I \mid < \varepsilon


Предел ~I сумм ~I\{\Phi_i, M_i\} при ~d \left(T \right) \to 0 называется поверхностным интегралом первого рода от функции ~f \left(M \right) по поверхности ~\Phi и обозначается следующим образом:

~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma}

Параметрическая форма[править | править вики-текст]

Пусть на поверхности ~\Phi можно ввести единую параметризацию посредством функций

~x = x\left(u, v\right), \;\;\;\; y = y\left(u, v\right), \;\;\;\; z = z\left(u, v\right),

заданных в ограниченной замкнутой области ~\Omega плоскости ~\left(u, v\right) и принадлежащих классу ~C^1 в этой области. Если функция ~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right) непрерывна на поверхности ~\Phi, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности ~\Phi существует и может быть вычислен по формуле:

~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma} = \iint \limits_{\Omega} {f \left(x \left( u, v \right), y \left( u, v \right), z \left( u, v \right) \right) \sqrt{EG - F^2} \;du \;dv}, где:

~E = \left(x_u'\right)^2 + \left(y_u'\right)^2 + \left(z_u'\right)^2

~F = x_u' \; x_v' + y_u' \; y_v' + z_u' \; z_v'

~G = \left(x_v'\right)^2 + \left(y_v'\right)^2 + \left(z_v'\right)^2

Свойства[править | править вики-текст]

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции f и g интегрируемы по областям \Phi, \Phi_1, \Phi_2:

  1. Линейность: ~\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)d\sigma = \alpha \iint\limits_{\Phi}fd\sigma + \beta \iint\limits_{\Phi}gd\sigma для любых вещественных чисел \alpha, \beta \in\mathbb{R};
  2. Аддитивность: ~\iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma + \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma = \iint\limits_{\Phi_1\cup\Phi_2}fd\sigma при условии, что \Phi_1 и \Phi_2 не имеют общих внутренних точек;
  3. Монотонность:
    • если ~f \geqslant g, то \iint\limits_{\Phi}fd\sigma \geqslant \iint\limits_{\Phi}gd\sigma
    • для ~f \geqslant 0 если ~\Phi_1 \subset \Phi_2, то \iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma < \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma
  4. Теорема о среднем для непрерывной функции ~f и замкнутой ограниченной поверхности ~\Phi:

~\iint\limits_{\Phi}fd\sigma = f(\xi)\iint\limits_{\Phi}d\sigma = f(\xi)\;\mu(\Phi), где \xi\in\Phi, а \mu(\Phi) — площадь области \Phi.

Поверхностный интеграл второго рода[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим двустороннюю поверхность ~\Phi, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением ~z = z\left(x, y \right) причем точка ~\left(x, y \right) изменяется в области ~\left(D \right) на плоскости ~x\;y, ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности ~\Phi определена некоторая функция ~f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right). Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части ~\Phi_i \left(i = 1,...,n \right) и выбрав на каждой такой части точку ~M_i \left(x_i, y_i, z_i \right) вычисляем значение функции ~f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right) в данной точке и умножим его на площадь ~D_i проекции на плоскость ~x \;y элемента ~\Phi_i, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

~\sum_{i = 1}^{n} {f \left(M_i \right)D_i} = \sum_{i = 1}^{n} {f \left(x_i, y_i, z_i \right)D_i}.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

~f \left(M \right)\;dx\;dy = f\left(x, y, z \right)\;dx\;dy,

распространенным на выбранную сторону поверхности ~\Phi, и обозначают символом

~I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)\;dx\;dy} = \iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dx\;dy}

(здесь ~dx\;dy) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость ~xy

Если вместо плоскости ~xy спроектировать элементы поверхности на плоскость ~yz или ~zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

~\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dy\;dz} или ~\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dz\;dx}.

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

~\iint \limits_{\Phi} {P\;dy\;dz + Q \;dz\; dx + R \; dx \; dy}

где ~P, Q, R суть функции от ~\left( x, y, z \right), определенные в точках поверхности ~\Phi.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода[править | править вики-текст]

~ \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dydz = \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\cos(\nu\hat{\;}i)d\sigma, где ~\nu — единичный вектор нормали поверхности ~\Sigma, ~i — орт.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Линейность: ~\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)dx\;dy = \alpha \iint\limits_{\Phi}fdx\;dy + \beta \iint\limits_{\Phi}gdx\;dy;
  2. Аддитивность: ~\iint\limits_{\Phi_1}fdx\;dy + \iint\limits_{\Phi_2}fdx\;dy = \iint\limits_{\Phi_1+\Phi_2}fdx\;dy;
  3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки[править | править вики-текст]