Поверхностный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание 1 Поверхностный интеграл первого рода 1.1 Свойства 2 Поверхностный интеграл второго рода 2.1 Свойства 3 См. также

[править] Поверхностный интеграл первого рода

Пусть Σ - поверхность в пространстве R³, тогда интеграл называется поверхностным интегралом первого рода по поверхности Σ. Если поверхность задана как {x, y, z(x,y)}, то

Поверхностный интеграл по поверхности Σ, взаимнооднозначно проецируемой на плоскость xOy вычисляется сведением его к двойному интегралу по площадке D_xy:

Последний, в свою очередь, решается приведением к повторному интегралу. Поверхностный интеграл первого рода существует, если поверхность ограничена, а функция непрерывна на замкнутой поверхности.

[править] Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность:

• если f > g, то
• для если , то

4. Теорема о среднем для непрерывной функции f и замкнутой ограниченной поверхности Σ:

[править] Поверхностный интеграл второго рода

Поверхностным интегралом второго рода от функции f называется каждый из интегралов:

Связь между поверхностным интегралом второго и первого рода: , где ν — единичный вектор нормали поверхности Σ, i — орт.

[править] Свойства

Совпадают со свойствами интеграла первого рода, добавляются свойства, связанные с ориентацией поверхности. При замене ориентации на противоположную поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

[править] См. также

• Поток векторного поля