Поверхность Веронезе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

Определение[править | править вики-текст]

Поверхность Веронезе — это образ вложения Веронезе, то есть отображения

\nu:\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^5

заданного формулами

\nu: [x:y:z] \mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]

где [x:\cdots] обозначает однородные координаты точки на проективной плоскости.

Мотивировка определения[править | править вики-текст]

Поверхность Веронезе естественным образом возникает при изучении коник, особенно при доказательстве утверждения «пять точек однозначно определяют конику». Коника — это плоская кривая, заданная уравнением

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dxz + Eyz + Fz^2 = 0,

которое квадратично относительно переменных x,y,z. Однако композиция с вложением Веронезе позволяет сделать это уравнение линейным (более точно, для получения произвольной коники достаточно пересечь поверхность Веронезе гиперплоскостью и взять прообраз пересечения). Обратно, условие того, что коника содержит точку [x:y:z] является линейным относительно коэффициентов (A,B,C,D,E,F), а значит уменьшает размерность пространства на единицу. Более точное утверждение состоит в том, что пять точек общего положения определяют пять независимых линейных уравнений, это следует из того, что при вложении Веронезе точки общего положения переходят в точки общего положения.

Отображение Веронезе[править | править вики-текст]

Отображение Веронезе степени d из n-мерного проективного пространства — это отображение

\nu_d\colon \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m

где m задаётся при помощи биномиального коэффициента:

m=  {n+d \choose d} - 1.

Отображение отпрявляет точку [x_0:\ldots:x_n] во все возможные мономы от x_0,\ldots,x_n полной степени d. Множество таких мономов называется многообразием Веронезе.

Для низких d отображение тривиально: при d = 0 получается отображение в единственную точку \mathbb P_0, при d = 1 — тождественное отображение; поэтому обычно рассматривается случай d, не меньшего двух.

Можно определить отображение Веронезе не зависящим от координат способом, а именно

\nu_d: \mathbb{P}V \to \mathbb{P}(\rm{Sym}^d V)

где V — конечномерное векторное пространство, а \rm{Sym}^d V — его симметрическая степень.

Рациональные нормальные кривые[править | править вики-текст]

При n=1 образ вложения Веронезе известен как рациональная нормальная кривая. Приведём примеры рациональных нормальных кривых малых размерностей:

  • При n=1, d=1 вложение Веронезе — тождественное отображение проективной прямой на себя.
  • При n=1, d=2 многообразие Веронезе — парабола [x^2:xy:y^2], в аффинных координатах (x,x^2).
  • При n=1, d=3 многообразие Веронезе — скрученная кубика, [x^3:x^2y:xy^2:y^3], в аффинных координатах (x,x^2,x^3).

Бирегулярность вложения Веронезе[править | править вики-текст]

Образ многообразия под действием вложения Веронезе снова является многообразием, причём изоморфным первому (это значит, что существует обратное отображение, которое также регулярно). Таким образом, вложение Веронезе бирегулярно.

Из бирегулярности следует, в частности, что точки общего полложения переходят в точки общего положения. Действительно, если бы образы точек удовлетворяли нетривиальному уравнению, это уравнение задавало бы подмногообразие, прообраз которого был бы подмногообразием, содержащим исходные точки. Также при помощи этого можно показать, что любое проективное многообразие является пересечением многообразия Веронезе и линейного пространства, то есть пересечением квадрик.

Литература[править | править вики-текст]

  • Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-084-4