Поверхность Зейферта

Ориентируемая поверхность в трёхмерном пространстве, край которой представляет собой зацепление Борромео.

Кольцо (не лента Мёбиуса), являющееся поверхностью Зейферта зацепления Хопфа.

Поверхность Зейферта — вложенная в трёхмерное пространство поверхность, краем которой является данный узел или зацепление. Названа в честь Герберта Зейферта и является полезным инструментом в теории узлов.

Как показали Лев Понтрягин и Феликс Франкль, любое зацепление ограничивает некоторую поверхность Зейферта, причем много разных. В терминах поверхностей Зейферта определяются некоторые инварианты узлов, такие как многочлен Александера и сигнатура.

Определение

Вложенная в трёхмерное пространство поверхность, краем которой является данное зацепление, называется его поверхностью Зейферта, если она связна, компактна и ориентируема.

Во избежание патологических примеров, таких как рогатая сфера Александера, обычно предполагают, что вложение поверхности является гладким. В таком случае зацепление должно быть ручным.

Условие ориентируемости существенно: край стандартного вложения ленты Мёбиуса является тривиальным узлом, однако не является его поверхностью Зейферта, поскольку неориентируем. Тем не менее, неориентированные поверхности, ограничивающие заданные зацепления, также рассматриваются в литературе.

В случае, когда у зацепления задана ориентация, обычно предполагается, что поверхность Зейферта тоже ориентирована, причем индуцирует на свой край ориентацию зацепления. В случае узлов данное условие несущественно, но в общем случае накладывает определённые ограничения на поверхность.

Аналогично определяется поверхность Зейферта для узлов и зацеплений в произвольных трёхмерных многообразиях. В этом случае поверхность Зейферта существует не всегда, а именно, условие существования эквивалентно гомологичности нулю данного зацепления.

Свойства

Поверхность Зейферта зацепления может быть построена по любой его диаграмме так называемым алгоритмом Зейферта.

Свойство быть поверхностью Зейферта сохраняется при связном суммировании со сферой с ручками. Отсюда следует, что любое зацепление имеет бесконечно много негомеоморфных поверхностей Зейферта.

Узел тривиален в том и только в том случае, если он ограничивает диск. Следовательно, род любой поверхности Зейферта нетривиального узла больше нуля.

Каждая поверхность Зейферта зацепления $L$ определяет гомологический класс во второй относительной группе гомологий $H_{2}(X_{L},\partial X_{L};\mathbb {Z} )\cong H_{1}(L;\mathbb {Z} )$, где $X_{L}$ — дополнение зацепления $L$. Кроме того, любые две поверхности Зейферта гомологичны, то есть данный класс — один и тот же для всех таких поверхностей.

Род узла

Родом узла или зацепления называется наименьшее значение рода всех его поверхностей Зейферта. Род зацепления $L$ обозначается символом $g(L)$.

Например, род узла равен нулю тогда и только тогда, когда этот узел тривиален. Род трилистника и восьмёрки равен единице. Род торического узла $T_{p,q}$ типа $(p,q)$ вычисляется по формуле

$g(T_{p,q})=(p-1)(q-1)/2$.

Последнее можно вывести из того, что степень многочлена Александера любого узла является оценкой снизу на его удвоенный род.

Фундаментальным свойством рода является его аддитивность по отношению к сумме узлов:

$g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})$.

Ссылки

• SeifertView programme Архивная копия от 26 мая 2010 на Wayback Machine — построение поверхностей Зейферта для различных узлов.