Поверхность Зейферта

В математике, поверхность Зейферта — поверхность, границей которой является заданный узел или зацепление. Такие поверхности зачастую бывают полезны при исследовании соответствующего узла или зацепления. В частности, многие инварианты узлов проще всего вычисляются с её помощью. Поверхности Зейферта интересны и сами по себе, как объекты исследования. Названы в честь Герберта Зейферта.

Определение

Пусть $L$ — ручной ориентированный узел или зацепление в трёхмерном пространстве (или на трёхмерной сфере). Поверхностью Зейферта называется компактная связная ориентированная поверхность $S$, вложенная в трёхмерное пространство таким образом, что её границей является $L$, причём ориентация на поверхности $S$ индуцирует исходную ориентацию на $L$.

Подчеркнем, что поверхность Зейферта должна быть ориентирована.

Примеры

• Всякая компактная связная ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном пространстве является поверхностью Зейферта своей границы.

• Стандартный лист Мёбиуса имеет в качестве границы тривиальный узел, однако не является его поверхностью Зейферта, поскольку лист Мёбиуса неориентируем.

Род узла

Поверхность Зейферта данного узла или зацепления определена неоднозначно: один и тот же узел (или зацепление) $K$ может иметь несколько различных поверхностей Зейферта, минимально возможный род такой поверхности называется родом узла, является его инвариантом и обозначается через $g(K)$.

К примеру:

• Род тривиального узла равен 0 (поскольку он является границей диска); обратно, если род узла равен нулю, то узел тривиален.
• Трилистник, как и восьмёрка, имеют род 1.
• Род торического узла типа $(p, q)$ равен $(p-1)(q-1)\over 2$.
• Степень полинома Александера является оценкой снизу на удвоенный род узла.

Фундаментальным свойством рода является его аддитивность по отношению к связной сумме узлов:

$g(K_1 \# K_2) = g(K_1) + g(K_2)$

Ссылки

• SeifertView programme — построение поверхностей Зейферта для различных узлов.