Поворот

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Поворот фигуры в плоскости относительно точки O против часовой стрелки

Поворо́т (враще́ние)движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной.

В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот, вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • неподвижная точка называется центром вращения, неподвижная прямая называется осью вращения и т. д.

Типы вращений[править | править вики-текст]

  • Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).
    • Несобственное вращение нельзя сделать малым (в смысле расстояния между каждой точкой и ее образом), собственное — можно сделать сколь угодно малым для любой ограниченной области пространства (то есть можно подобрать для ограниченной области сколь угодно малое собственное вращение).

Несобственное вращение является композицией некоторого зеркального отражения (на плоскости — осевой симметрии, в пространстве нечётной размерности — центральной) и собственного вращения.

Поворот в двумерном пространстве[править | править вики-текст]

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,
y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,

где \varphi — угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,
y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.

Матричный вид[править | править вики-текст]

При использовании матричного подхода точку  (x, y) записывают в виде вектора, затем умножают на матрицу:

 \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

(x ', y') координаты точки, полученные вращением точки  (x , y).

Векторы  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} и  \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} имеют одинаковую размерность.

Комплексный вид[править | править вики-текст]

Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка  (x, y) на плоскости представлена комплексным числом ~ z = x + iy .

Вращение точки на угол  \theta можно осуществить умножением  e ^ {i \theta} , используя формулу Эйлера

\begin{align}
e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\
               &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\
               &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\
               &= x' + i y' ,
\end{align}

что дает такой же результат,

\begin{align}
x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}

Композиция поворотов на плоскости[править | править вики-текст]

Пусть совершается вначале поворот вокруг точки a на угол \alpha, затем поворот вокруг точки b на угол \beta. И пусть точки a и b представлены в виде комплексных чисел вида x + i y. Положительным считается поворот против часовой стрелки. Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол  \gamma~= \alpha + \beta вокруг точки c, которая вычисляется по формуле ~c = a + (b-a) e^{i {\alpha'}}\frac {\sin \alpha'}{\sin \gamma'},

где \alpha' = \frac \alpha 2, а \gamma' = \frac \gamma 2

Если \alpha + \beta = 0, то композиция поворотов эквивалентна параллельному сдвигу плоскости на вектор r = (b - a)(e^{i \alpha} - 1)

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]